备考2024年浙江中考数学一轮复习专题28.2锐角三角函数 ...

更新时间：2024-03-04 浏览次数：67 类型：一轮复习

一、选择题（每题3分，共30分）

1. (2023·湖州) 如图，已知∠AOB ，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C ， D两点，分别以点C ， D为圆心，大于 $\text{[math]}$ 长为半径作圆弧，两条圆弧交于∠AOB内一点P ，连结OP ，过点P作直线PE∥OA ，交OB于点E ，过点P作直线PF∥OB ，交OA于点F ．若∠AOB＝60°，OP＝6cm ，则四边形PFOE的面积是（　　）

A . $\text{[math]}$ cm² B . $\text{[math]}$ cm² C . $\text{[math]}$ cm² D . $\text{[math]}$ cm²

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2. (2023·衢州) 如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆 $\text{[math]}$ 的最大仰角为 $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 时，则点 $\text{[math]}$ 到桌面的最大高度是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（ $\text{[math]}$ ）和中间一个小正方形 $\text{[math]}$ 拼成的大正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ ，若正方形 $\text{[math]}$ 与正方形 $\text{[math]}$ 的面积之比为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 5 B . 4 C . 3 D . 2

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4. (2023·德城模拟) 如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（）

A . cosθ(1+cosθ) B . cosθ(1+sinθ) C . sinθ(1+sinθ) D . sinθ(1+cosθ)

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5. 如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G，若cosB＝ $\text{[math]}$ ，则FG的长是（）

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2022·冠县模拟) 图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2023九上·石家庄期中) 在△ABC中，AB=12 $\text{[math]}$ ， AC=13，cos∠B= $\text{[math]}$ ，则BC边长为（　　）

A . 7 B . 8 C . 8或17 D . 7或17

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8. 在Rt△ABC中，若∠ACB＝90°，tanA＝ $\text{[math]}$ ，则sinB＝（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2023·松阳模拟) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2023·金东模拟) 如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东35°的方向上有一棵大树B，已知凉亭A在大树B的正西方向，若 $\text{[math]}$ 米，则AB的长等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. (2023九上·港南期中) 某仓储中心有一斜坡AB，其坡比i＝1：2，顶部A处的高AC为4米，B、C在同一水平面上.则斜坡AB的水平宽度BC为米.

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12. (2023·宁波模拟) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．将矩形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，使点A落在 $\text{[math]}$ 边上的E处，得到四边形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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13. (2023·舟山模拟) 把量角器和含 $\text{[math]}$ 角的三角板按如图1方式摆放，将其抽象为图2：若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切于点E， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．则阴影部分的面积为 $\text{[math]}$ ．

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14. (2023·丽水) 如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m>n且满足am-bn=2．an+bm=4．
1. （1）若a=3，b=4，则图1阴影部分的面积是；
2. （2）若图1阴影部分的面积为3．图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是。
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15. (2022·温州) 如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地而上的点M在旋转中心O的正下方。某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片 OA、OB ，此时各叶片影子在点M右侧成线段 CD ，测得MC=8.5m，CD=13m，垂直于地面的木棒 EF 与影子 FG 的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于米．

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16. (2021·衢州) 图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且 $\text{[math]}$ ，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD的中点，FA，EB均与地面垂直，测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）椅面CE的长度为cm.
2. （2）如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角 $\text{[math]}$ 的度数达到最小值 $\text{[math]}$ 时，A，B两点间的距离为cm（结果精确到0.1cm）.（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
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三、解答题（共5题，共32分）

17. (2023九上·高州期末) 教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图像高度AB抽象成如图所示的△ABC， $\text{[math]}$ ．黑板上投影图像的高度 $\text{[math]}$ ， CB与AB的夹角 $\text{[math]}$ ，求AC的长．（结果精确到1cm．参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

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18. (2023·丽水) 如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道A-D-C．已知DC⊥BC，AB⊥BC．∠A=60°，AB=11m，CD=4m．求管道A-D-C的总长.

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19. (2023·黄岩模拟) 如图1是一种可折叠的台灯，图2是台灯的结构图， $\text{[math]}$ 是可以绕点A旋转的支架， $\text{[math]}$ 是可以绕点B旋转的支架，C为灯泡的位置．量得 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求点C到 $\text{[math]}$ 的距离．（参考数据， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

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20. (2023·临安模拟) 若小红的眼睛离地面的距离为 $\text{[math]}$ 米，在一处用眼睛看篮球框，测得仰角 $\text{[math]}$ ，继续向正前方走 $\text{[math]}$ 米再看篮球框，测得仰角 $\text{[math]}$ ，问篮球框距地面的高度是多少米？

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21. (2023·铜仁模拟) 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表 AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为37° ，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米．
1. （1）求∠BAD的度数．
2. （2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．
  （参考数据：sin37°≈ $\text{[math]}$ ，cos37°≈ $\text{[math]}$ ，tan37°≈ $\text{[math]}$ ，tan84°≈ $\text{[math]}$ ）
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四、实践探究题（共3题，共34分）

22. (2022·鄞州模拟) 如图1， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 边上的中线 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的外接圆于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作DE $\text{[math]}$ BC交圆于点 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ .
1. （1）【特殊尝试】若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的长；
2. （2）【规律探索】
  ①求证： $\text{[math]}$ ；
  
  ②设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数表达式：
3. （3）【拓展应用】
  如图2，作 $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ 面积的6倍时，求 $\text{[math]}$ 的值.
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23. (2023·金华) 问题：如何设计“倍力桥”的结构？

图1是搭成的“倍力桥”，纵梁a，c夹住横梁 $\text{[math]}$ ，使得横梁不能移动，结构稳固.

图2是长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ 的横梁侧面示意图，三个凹槽都是半径为 $\text{[math]}$ 的半圆.圆心分别为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，纵梁是底面半径为 $\text{[math]}$ 的圆柱体.用相同规格的横梁、纵梁搭“桥”，间隙忽略不计.

探究1：图3是“桥”侧面示意图，A，B为横梁与地面的交点，C，E为圆心，D，H₁ ， H₂是横梁侧面两边的交点.测得AB=32cm，点C到AB的距离为12cm.试判断四边形CDEH₁的形状，并求 $\text{[math]}$ 的值.

探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形.

①若有12根横梁绕成环，图4是其侧面示意图，内部形成十二边形 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

②若有n根横梁绕成的环（n为偶数，且n≥6），试用关于n的代数式表示内部形成的多边形 $\text{[math]}$ 的周长.

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24. (2023·温州) 根据背景素材，探索解决问题.

测算发射塔的高度
背景素材	某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度MN（如图1）.他们通过自制的测倾仪（如图2）在A，B，C三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示.

	经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量﹑换算就能计算发射塔的高度.
问题解决
任务1	分析规划	选择两个观测位置：点 ▲ 和点 ▲ 。
	获取数据	写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离.
任务2	推理计算	计算发射塔的图上高度MN.
任务3	换算高度	楼房实际宽度DE为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度.