2014年高考理数真题试卷（山东卷）

更新时间：2021-05-20 浏览次数：881 类型：高考真卷

一、选择题

1. (2014·山东理) 已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）²=（）

A . 5﹣4i B . 5+4i C . 3﹣4i D . 3+4i

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2. (2014·山东理) 设集合A={x丨丨x﹣1丨＜2}，B={y丨y=2^x ， x∈[0，2]}，则A∩B=（）

A . [0，2] B . （1，3） C . [1，3） D . （1，4）

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3. (2014·山东理) 函数f（x）= $\text{[math]}$ 的定义域为（）

A . （0， $\text{[math]}$ ） B . （2，+∞） C . （0， $\text{[math]}$ ）∪（2，+∞） D . （0， $\text{[math]}$ ]∪[2，+∞）

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4. (2014·山东理) 用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x³+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）

A . 方程x³+ax+b=0没有实根 B . 方程x³+ax+b=0至多有一个实根 C . 方程x³+ax+b=0至多有两个实根 D . 方程x³+ax+b=0恰好有两个实根

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5. (2014·山东理) 已知实数x，y满足a^x＜a^y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）

A . $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ B . ln（x²+1）＞ln（y²+1） C . sinx＞siny D . x³＞y³

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6. (2014·山东理) 直线y=4x与曲线y=x³在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）

A . 2 $\text{[math]}$ B . 4 $\text{[math]}$ C . 2 D . 4

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7. (2022·和平模拟) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）

A . 6 B . 8 C . 12 D . 18

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8. (2014·山东理) 已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）

A . （0， $\text{[math]}$ ） B . （ $\text{[math]}$ ，1） C . （1，2） D . （2，+∞）

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9. (2014·山东理) 已知x，y满足约束条件 $\text{[math]}$ ，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2 $\text{[math]}$ 时，a²+b²的最小值为（）

A . 5 B . 4 C . $\text{[math]}$ D . 2

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10. (2014·山东理) 已知a＞b＞0，椭圆C₁的方程为 $\text{[math]}$ =1，双曲线C₂的方程为 $\text{[math]}$ =1，C₁与C₂的离心率之积为 $\text{[math]}$ ，则C₂的渐近线方程为（）

A . x± $\text{[math]}$ y=0 B . $\text{[math]}$ x±y=0 C . x±2y=0 D . 2x±y=0

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二、填空题

11. (2014·山东理) 执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为．

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12. (2014·山东理) 若△ABC中，已知 $\text{[math]}$ =tanA，当A= $\text{[math]}$ 时，△ABC的面积为．

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13. (2014·山东理) 三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V₁ ， P﹣ABC的体积为V₂ ，则 $\text{[math]}$ =．

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14. (2022·太原模拟) 若（ax²+ $\text{[math]}$ ）⁶的展开式中x³项的系数为20，则a²+b²的最小值为．

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15. (2014·山东理) 已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈R），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈R），y=h（x）满足：对任意x∈R，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）= $\text{[math]}$ 关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是．

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三、解答题

16. (2014·山东理) 已知向量 $\text{[math]}$ =（m，cos2x）， $\text{[math]}$ =（sin2x，n），函数f（x）= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，且y=f（x）的图象过点（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）和点（ $\text{[math]}$ ，﹣2）．
1. （1）求m，n的值；
2. （2）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．
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17. (2014·山东理) 如图，在四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．
1. （1）求证：C₁M∥平面A₁ADD₁；
2. （2）若CD₁垂直于平面ABCD且CD₁= $\text{[math]}$ ，求平面C₁D₁M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．
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18. (2014·山东理) 乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为 $\text{[math]}$ ，在D上的概率为 $\text{[math]}$ ；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为 $\text{[math]}$ ，在D上的概率为 $\text{[math]}$ ．假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：
1. （1）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
2. （2）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．
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19. (2014·山东理) 已知等差数列{a_n}的公差为2，前n项和为S_n ，且S₁ ， S₂ ， S₄成等比数列．
1. （1）求数列{a_n}的通项公式；
2. （2）令b_n=（﹣1）ⁿ^﹣¹ $\text{[math]}$ ，求数列{b_n}的前n项和T_n ．
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20. (2014·山东理) 设函数f（x）= $\text{[math]}$ ﹣k（ $\text{[math]}$ +lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．
1. （1）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；
2. （2）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．
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21. (2014·山东理) 已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．
1. （1）求C的方程；
2. （2）若直线l₁∥l，且l₁和C有且只有一个公共点E，
  （ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；
  （ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
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