上海师大附中2024年高考数学模拟试卷（3月份）

更新时间：2024-04-22 浏览次数：59 类型：高考模拟

一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. (2024·徐汇模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024·徐汇模拟) 现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V（单位：L）与直径d（单位： $\text{[math]}$ ）的关系式为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，气球体积的瞬时变化率为（）

A . 2π B . π C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024·徐汇模拟) 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则该三角形外接圆的半径为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024·徐汇模拟) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 所在平面内的动点，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则给出下面四个结论：
$\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ．
其中，正确结论的个数是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题：本题共12小题，共54分。

5. (2024·徐汇模拟) 复数 $\text{[math]}$ 的虚部是．

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6. (2024·徐汇模拟) 双曲线 $\text{[math]}$ 的焦距是．

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7. (2024·徐汇模拟) 若抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点到它的准线距离为 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ ．

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8. (2024·徐汇模拟) $\text{[math]}$ 的二项展开式的各项系数之和为 $\text{[math]}$ ，则该二项展开式中的常数项为．

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9. (2024·徐汇模拟) 已知两个单位向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的夹角为．

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10. (2024·徐汇模拟) 设函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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11. (2024·徐汇模拟) 设圆锥的底面中心为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是它的两条母线，且 $\text{[math]}$ ，若棱锥 $\text{[math]}$ 是正三棱锥，则该圆锥的体积为．

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12. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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13. (2024·徐汇模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是公差相等的等差数列，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为正整数，设 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ ．

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14. (2024·徐汇模拟) 如图 $\text{[math]}$ 为正六棱柱，若从该正六棱柱的 $\text{[math]}$ 个侧面的 $\text{[math]}$ 条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是．

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15. (2024·徐汇模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点，过 $\text{[math]}$ 的直线与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的离心率是．

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16. (2024·徐汇模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，若集合 $\text{[math]}$ 恰有 $\text{[math]}$ 个子集，则 $\text{[math]}$ 的可能值的集合为．

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三、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. (2024·徐汇模拟)
1. （1）已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
2. （2）已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由．
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18. (2024·徐汇模拟) 如图，在圆柱中，底面直径 $\text{[math]}$ 等于母线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在底面的圆周上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是垂足．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若圆柱与三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积的比等于 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的大小．
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19. (2024·徐汇模拟) 某校举行“强基计划”数学核心素养测评，要求以班级为单位参赛，最终高三一班 $\text{[math]}$ 人 $\text{[math]}$ 和高三二班 $\text{[math]}$ 人 $\text{[math]}$ 进入决赛 $\text{[math]}$ 决赛规则如下：现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有 $\text{[math]}$ 个选择题和 $\text{[math]}$ 个填空题，乙箱中有 $\text{[math]}$ 个选择题和 $\text{[math]}$ 个填空题，决赛由两个环节组成，环节一：要求两班级每位同学在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答，作答后放回原箱，并分别统计两班级学生测评成绩的相关数据；环节二：由一班班长王刚和二班班长李明进行比赛，并分别统计两人的测评成绩的相关数据，两个环节按照相关比赛规则分别累计得分，以累计得分的高低决定班级的名次．
1. （1）环节一结束后，按照分层抽样的方法从两个班级抽取 $\text{[math]}$ 名同学，并统计每位同学答对题目的数量，统计数据为：一班抽取同学答对题目的平均数为 $\text{[math]}$ ，方差为 $\text{[math]}$ ；二班抽取同学答对题目的平均数为 $\text{[math]}$ ，方差为 $\text{[math]}$ ，求这 $\text{[math]}$ 人答对题目的均值与方差；
2. （2）环节二，王刚先从甲箱中依次抽出两道题目，答题结束后将所答题目放入乙箱，然后李明在乙箱中再依次抽取两道题目，求李明抽取的两题均为选择题的概率．
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20. (2024·徐汇模拟) 已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左、右焦点，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有两个不同的交点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为原点，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的两条渐近线在一、二象限的交点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明；当 $\text{[math]}$ 的面积最小时，直线 $\text{[math]}$ 平行于 $\text{[math]}$ 轴；
3. （3）设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上一点，是否存在实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 是以点 $\text{[math]}$ 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值及点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，说明理由．
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21. (2024·徐汇模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 为正数且 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值；
3. （3）若 $\text{[math]}$ 对一切 $\text{[math]}$ 都成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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