备考2024年中考数学探究性训练专题20 四边形

更新时间：2024-03-31 浏览次数：92 类型：二轮复习

一、选择题

1. (2016·孝义模拟) 我们在探究“任意一个四边形内角和是多少度？”时，采用的方法是连接四边形的一条对角线，把四边形分割成两个三角形，从而探究出任意四边形的内角和等于360°，这一过程体现的数学思想是（）

A . 转化思想 B . 方程思想 C . 函数思想 D . 数形结合思想

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2. (2023八下·温州期中) 对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程 $\text{[math]}$ 为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ 的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是 $\text{[math]}$ ，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即 $\text{[math]}$ ，据此易得 $\text{[math]}$ ．小明用此方法解关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 构造出同样的图形，已知小正方形的面积为4，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 2 B . 4 C . 6 D . 8

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3. (2021·玉田模拟) 在《类比探究菱形的有关问题》这节网课中，老师给出了如下画菱形的步骤，请问这么画的依据是（）

A . 四条边都相等的四边形是菱形 B . 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C . 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D . 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形

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4. (2023八下·泗县期末) 数学家莫伦在 $\text{[math]}$ 年发现了世界上第一个完美长方形（如图 $\text{[math]}$ ），即它恰好能被分割成 $\text{[math]}$ 个大小不同的正方形，从这以后人们开始热衷图形完美分割的研究，平行四边形 $\text{[math]}$ 被分割成 $\text{[math]}$ 个小正三角形（如图2），已知中间最小的两个正三角形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 边长均为 $\text{[math]}$ ，平行四边形 $\text{[math]}$ 的周长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

5. (2017八下·东城期中) 如图是跷跷板的示意图，立柱 $\text{[math]}$ 与地面垂直，以 $\text{[math]}$ 为横板 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 上下转动，横板 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 端最大高度 $\text{[math]}$ 是否会随横板长度的变化而变化呢？一位同学做了如下研究：他先设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，通过计算得到此时的 $\text{[math]}$ ，再将横板 $\text{[math]}$ 换成横板 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为横板 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ 点的最大高度为 $\text{[math]}$ ，由此得到 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系是： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （填“ $\text{[math]}$ 、“ $\text{[math]}$ ”或“ $\text{[math]}$ ”）可进一步得出， $\text{[math]}$ 随横板的长度的变化而（填“不变”或“改变”）．

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6. (2021九上·瑞安开学考) 在图1所示的 $\text{[math]}$ 的网格内有一个八边形，其中每个小方格的边长均为1.经探究发现，此八边形可按图2的方式分割成四个全等的五边形和一个小正方形①.现将分割后的四个五边形重新拼接（即图2中的阴影部分），得到一个大正方形 $\text{[math]}$ ，发现该正方形中间的空白部分②也是一个正方形，且正方形②的面积恰好是正方形①的面积的2倍，则 $\text{[math]}$ 的长为.

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7. (2023八下·婺城期末) 利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1， $\text{[math]}$ 是矩形 $\text{[math]}$ 的对角线，将 $\text{[math]}$ 分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若 $\text{[math]}$ ，则矩形 $\text{[math]}$ 的面积是．

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8. (2023九下·义乌月考) 何老师在一次“探析矩形折叠问题”的公开课上，与同学们一起对折纸进行了如下探究：已知正方形 $\text{[math]}$ 边长为1，G是 $\text{[math]}$ 边的中点，E是射线 $\text{[math]}$ 上的一个动点.
1. （1）如图① ，若点E在线段 $\text{[math]}$ 上且点E与点C不重合，连结 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 翻折，使点C落在 $\text{[math]}$ 上的点M处，连结 $\text{[math]}$ 延长交 $\text{[math]}$ 边于点F且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为
2. （2）若点E与点C不重合，以点C为圆心，线段 $\text{[math]}$ 的长为半径作 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 只有一个公共点时， $\text{[math]}$ 的取值范围是.
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9. (2022八上·东阳期末) 综合实践课上，小聪用一张长方形纸ABCD对不同折法下的折痕进行了探究，已知AB＝12，∠CAB＝30°，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝5，
1. （1）把长方形纸片沿着直线EF翻折，使点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点D的对应点为D′，如图①，则折痕EF长为；
2. （2）在EF，A′D′上取点G，H，沿着直线GH继续翻折，使点E与点F重合，如图②，则折痕GH长为 .
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10. (2020九上·永州月考) 如图，某数学兴趣小组在学完矩形的知识后一起探讨了一个纸片折叠问题：如何将一张平行四边形纸片 $\text{[math]}$ 的四个角向内折起，拼成一个无缝隙、无重叠的矩形 $\text{[math]}$ ．图中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示折痕，折后 $\text{[math]}$ 的对应点分别是 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则纸片折叠时 $\text{[math]}$ 的长应取．

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三、实践探究题

11. (2023九上·新丰期中) 综合与探究
如图，经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点的抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的另一个交点为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）点 $\text{[math]}$ 在抛物线的对称轴上，当 $\text{[math]}$ 的周长最小时，求 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （3）已知点 $\text{[math]}$ 在抛物线上，求 $\text{[math]}$ 时的点 $\text{[math]}$ 坐标；
4. （4）已知 $\text{[math]}$ ，请直接写出能以点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形的点 $\text{[math]}$ 坐标．
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12. (2023·光明模拟)

【问题】北师大版数学八年级下册P32第2题：
已知：如图1， $\text{[math]}$ 的外角 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的平分线相交于点F．
求证：点F在 $\text{[math]}$ 的平分线上．
某数学兴趣小姐的小明同学提出了如下的解题方法：
如图2，过点F作 $\text{[math]}$ 于点G，作 $\text{[math]}$ 于点H，作 $\text{[math]}$ 于点M，由角平分线的性质定理可得： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴F在 $\text{[math]}$ 的平分结上．

【探究】
1. （1）小方在研究小明的解题过程时，还发现图2中 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 三条线段存在一定的数量关系，请你直接写出它们的数量关系：；
2. （2）小明也发现 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间存在一定的数量关系．请你直接写出它们的数量关系：；
3. （3）如图3，边长为3的正方形 $\text{[math]}$ 中，点E，F分别是边 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；
4. （4）如图4， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 的顶点D放在 $\text{[math]}$ 边的中点处，边 $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点G，边 $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点H，连接 $\text{[math]}$ ．现将 $\text{[math]}$ 绕着点D旋转，在旋转过程中， $\text{[math]}$ 的周长是否发生变化？若不变，求出 $\text{[math]}$ 的周长，若改变，请说明理由．
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13. (2023九上·贵阳月考) 小星和小红在学习了正方形的相关知识后，对正方形内一些特殊线段的关系进行探究.
1. （1）问题解决
  如图(1)所示，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点，连接AE，BF，且AE⊥BF，求证：△ABE≌△BCF；
2. （2）类比探究
  如图(2)所示，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是BC，AD，AB，CD边上的点，连接EF，GH，且EF⊥GH，求证：EF=GH；
3. （3）迁移应用
  如图(3)所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D是BC的中点，E是AC边上的点，连接AD，BE，且BE⊥AD，求AE∶CE的值.
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14. (2023·西和模拟) 某校数学活动小组探究了如下数学问题：
1. （1）问题发现：如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 是底边 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为腰作等腰 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、则 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系是；
2. （2）变式探究：如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 是腰 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为底边作等腰 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；
3. （3）问题解决；如图 $\text{[math]}$ ，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点，以 $\text{[math]}$ 为对角线作正方形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 若设正方形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系式．
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15. [探究与证明]折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘.
[动手操作]如图1，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B落在EF.上，并使折痕经过点A，得到折痕AM.点B，E的对应点分别为B'，E'，展平纸片，连结AB'，BB'，BE'.请完成：
1. （1）观察图1中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系.
2. （2）证明（1）中的猜想.
3. （3） [类比操作]如图2，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连结BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B，P分别落在EF，BN上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为B'，P'，展平纸片，连结BB'，P'B'.请完成：
  证明BB'是∠NBC的一条三等分线.
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16. 小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°<a≤90°）得到矩形AB'C'D'，连结BD..
1. （1）【探究1】如图1，当α=90°时，点C'恰好在DB的延长线上.若AB=1，求BC的长.
2. （2）【探究2】如图2，连结AC，过点D'作D'M //AC'交BD于点M.线段D'M 与 DM 相等吗？请说明理由.
3. （3）【探究3】在探究2的条件下，射线DB分别交AD'，AC'于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN之间存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明.
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17. (2023·广西) 【探究与证明】
折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．

【动手操作】如图1，将矩形纸片 $\text{[math]}$ 对折，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，展平纸片，得到折痕 $\text{[math]}$ ；折叠纸片，使点B落在 $\text{[math]}$ 上，并使折痕经过点A，得到折痕 $\text{[math]}$ ，点B，E的对应点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，展平纸片，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

请完成：
1. （1）观察图1中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，试猜想这三个角的大小关系；
2. （2）证明（1）中的猜想；
  【类比操作】如图2，N为矩形纸片 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上的一点，连接 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕 $\text{[math]}$ ；折叠纸片，使点B，P分别落在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，展平纸片，连接， $\text{[math]}$ ．
3. （3）证明 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一条三等分线．
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18. (2023·峨眉山模拟) 【问题情境】：
数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动，如图1，已知矩形纸片 $\text{[math]}$ ，其中宽 $\text{[math]}$ ．
1. （1）【动手实践】：
  如图1，威威同学将矩形纸片 $\text{[math]}$ 折叠，点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边上的点 $\text{[math]}$ 处，折痕为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，然后将纸片展平，得到四边形 $\text{[math]}$ ，则折痕 $\text{[math]}$ 的长度为．
2. （2）【探究发现】：
  如图2，胜胜同学将图1中的四边形 $\text{[math]}$ 剪下，取 $\text{[math]}$ 边中点 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠得到 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边的中点，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一动点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，当点 $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ 落在线段 $\text{[math]}$ 上时，求此时 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）【反思提升】：
  明明同学改变图2中 $\text{[math]}$ 点的位置，即点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上一动点，点 $\text{[math]}$ 仍是边 $\text{[math]}$ 上一动点，按照（2）中方式折叠 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ 落在线段 $\text{[math]}$ 上，明明同学不断改变点 $\text{[math]}$ 的位置，发现在某一位置 $\text{[math]}$ 与（2）中的 $\text{[math]}$ 相等，请直接写出此时 $\text{[math]}$ 的长度．
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19. (2023·青岛模拟) 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对矩形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
1. （1） [观察与猜想]
  如图①，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E、F分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的两点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为＝；
2. （2）如图②，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E是 $\text{[math]}$ 上的一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．
3. （3） [性质探究]
  如图③，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．点E为 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，过点C作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 的延长线于点G，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点F．求证： $\text{[math]}$ ；
4. （4） [拓展延伸]已知四边形 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
  如图④，点P是 $\text{[math]}$ 上的点，过点P作 $\text{[math]}$ ，垂足为O，点O恰好落在对角线 $\text{[math]}$ 上．求 $\text{[math]}$ 的值；
5. （5）如图⑤，点P是 $\text{[math]}$ 上的一点，过点P作 $\text{[math]}$ ，垂足为O，点O恰好落在对角线 $\text{[math]}$ 上，延长 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点G．当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．
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20. (2023九上·苏州开学考) 问题提出
如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE=EF，∠AEF＝∠ABC＝α（α≥90°），AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系.
1. （1）问题探究
  先将问题特殊化，如图（2），当α=90°，直接写出∠GCF的大小；
2. （2）再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．
  问题拓展
  将图（1）特殊化，如图（3），当α=120°，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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21. (2023九上·小店期中) 综合与探究
问题情境：数学课上，老师引导同学们以“正方形中线段的旋转”为主题开展数学活动.已知正方形ABCD中， $\text{[math]}$ ，点E是射线CD上一点（不与点C重合），连接BE ，将BE绕点E顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到FE ，连接DF.
1. （1）特例分析：如图1，当点E与点D重合时，求 $\text{[math]}$ 的度数；
2. （2）深入谈及：当点E不与点D重合时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请在图2与图3中选择一种情况进行证明；若不成立，请说明理由；
3. （3）问题解决：如图4，当点E在线段CD上，且 $\text{[math]}$ 时，请直接写出线段BF的长.
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22. (2023九上·中牟月考) 小明学习了平行四边形这一章后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
1. （1）概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是
2. （2）性质探究：通过探究，直接写出垂直四边形ABCD的面积S与两对角线AC，BD之间的数量关系：．
3. （3）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CG，BE，GE，已知AC＝4，AB＝5．
  ①求证：四边形BCGE为垂美四边形；
  ②求出四边形BCGE的面积．
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23. (2023九上·太原期中) 综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论.已知在□ABCD中，AB<BC，∠ABC的平分线交AD边于点E，交CD边的延长线于点F，以DE，DF为邻边作□DEGF.
1. （1）特例探究：如图1，“创思”小组的同学研究了四边形ABCD为矩形时的情形，发现四边形DEGF是正方形，请你证明这一结论；
2. （2） “敏学”小组的同学在图1基础上连接BG，AC，得到图2，发现图2中线段BG与AC之间存在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由；
3. （3）拓展延伸：“善问"小组的同学计划对□ABCD展开类似研究.如图3，在□ABCD中，∠ABC=60.
  请从下面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两题中任选一题作答.我选择 ▲ 题.
  $\text{[math]}$ ：当AB=4，BC=6时，请补全图形，并直接写出A，G两点之间的距离.
  $\text{[math]}$ ：当BC=6时，请补全图形，并直接写出以A，C，G为顶点的三角形面积的最小值.
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24. (2023·无为模拟) 通过以前的学习，我们知道：“如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ”．某数学兴趣小组在完成了以上学习后，决定对该问题进一步探究：
1. （1）【问题探究】如图2，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，试猜想 $\text{[math]}$ ；
2. （2）【知识迁移】如图3，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，试猜想 $\text{[math]}$ 的值，并证明你的猜想；
3. （3）【拓展应用】如图4，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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25. (2023·广西模拟) 在数学活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究与角的度数、线段长度有关的问题．对直角三角形纸片 $\text{[math]}$ 进行如下操作：
1. （1）【初步探究】
  如图1，折叠三角形纸片 $\text{[math]}$ ，使点C与点A重合，得到折痕 $\text{[math]}$ ，然后展开铺平，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 位置关系为， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系为；
2. （2）【再次探究】
  如图2，将 $\text{[math]}$ 绕点C顺时针旋转得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）【拓展提升】
  在（2）的条件下，在顺时针旋转一周的过程中，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长．
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26. (2023九上·灵石月考) 综合与探究：
如图，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 向终点 $\text{[math]}$ 运动，速度为每秒 $\text{[math]}$ 个单位，同时点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发以同样的速度沿 $\text{[math]}$ 向终点 $\text{[math]}$ 运动，作 $\text{[math]}$ 轴，交折线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 轴，交折线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，设运动时间为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点的坐标；
2. （2）在点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 运动过程中，
  $\text{[math]}$ 当点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上时，求证四边形 $\text{[math]}$ 是矩形；
  $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的整个运动过程中，当四边形 $\text{[math]}$ 是正方形时，请你直接写出 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）点 $\text{[math]}$ 是平面内一点，在点 $\text{[math]}$ 的运动过程中，问是否存在以点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标，若不存在，请说明理由．
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27. (2023·吴兴模拟) 一张矩形纸片ABCD（如图1），AB=6，AD=3.点E是BC边上的一个动点，将△ABE沿直线AE折叠得到△AEF，延长AE交直线CD于点G，直线AF与直线CD交于点Q.

【初步探究】
1. （1）求证：△AQG是等腰三角形；
2. （2）记FQ=m，当BE=2CE时，计算m的值；
3. （3）【深入探究】
  将矩形纸片放入平面直角坐标系中（如图2所示），点B与点O重合，边OC、OA分别与x轴、y轴正半轴重合.点H在OC边上，将△AOH沿直线AH折叠得到△APH.
  ①当AP经过CD的中点N时，求点P的坐标；
  ②在①的条件下，已知二次函数y=-x²+bx+c的图象经过A、D两点.若将直线AH右侧的抛物线沿AH对折，交y轴于点M，请求出AM的长度.
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28. (2022九上·义乌月考) 【性质探究】
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E.作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G.
1. （1）判断△AFG的形状并说明理由.
2. （2）求证：BF=2OG.
3. （3）【迁移应用】
  记△DGO的面积为S₁ ， △DBF的面积为S₂ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值.
4. （4）【拓展延伸】
  若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的 $\text{[math]}$ 时，请直接写出tan∠BAE的值.
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29. (2023·河源模拟) 某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究：
1. （1）【问题背景】如图1，正方形ABCD中，点E为AB边上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交BC边于点F，将△ADE沿直线DE折叠后，点A落在点 $\text{[math]}$ 处，当∠BEF＝25°，则∠FE $\text{[math]}$ ＝°．
2. （2）【特例探究】如图2，连接DF，当点 $\text{[math]}$ 恰好落在DF上时，求证：AE＝2 $\text{[math]}$ F．
3. （3）【深入探究】若把正方形ABCD改成矩形ABCD，且AD＝mAB，其他条件不变，他们发现AE与 $\text{[math]}$ F之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与 $\text{[math]}$ F之间的数量关系式．
4. （4）【拓展探究】若把正方形ABCD改成菱形ABCD，且∠B＝60°，∠DEF＝120°，其他条件不变，他们发现AE与 $\text{[math]}$ F之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与A′F之间的数量关系式．
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30. (2023·常州) 如图1，小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形 $\text{[math]}$ 和矩形 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上（ $\text{[math]}$ ），且点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 的同侧；第二步，设置 $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 能在边 $\text{[math]}$ 上左右滑动；第三步，画出边 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 与射线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 不重合），射线 $\text{[math]}$ 与射线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 不重合），观测 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的长度．
1. （1）如图 $\text{[math]}$ ，小丽取 $\text{[math]}$ ，滑动矩形 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合时， $\text{[math]}$ ；
2. （2）小丽滑动矩形 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 恰为边 $\text{[math]}$ 的中点．她发现对于任意的 $\text{[math]}$ 总成立．请说明理由；
3. （3）经过数次操作，小丽猜想，设定 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的某种数量关系后，滑动矩形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 总成立．小丽的猜想是否正确？请说明理由．
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