2023年吉林省中考数学真题变式题：第二十一题

更新时间：2024-04-03 浏览次数：60 类型：二轮复习

一、原题重现

1. (2023·吉林) 某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：

填写人：王朵综合实践活动报告时间：2023年4月20日

活动任务：测量古树高度

活动过程

【步骤一】设计测量方案

小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．

【步骤二】准备测量工具

自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺．

【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点．

如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角 $\text{[math]}$ ．

测出眼睛到地面的距离 $\text{[math]}$ ．

测出所站地方到古树底部的距离 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ ．

【步骤四】计算古树高度 $\text{[math]}$ ．（结果精确到 $\text{[math]}$ ）

（参考数据： $\text{[math]}$ ）

请结合图①、图④和相关数据写出 $\text{[math]}$ 的度数并完成【步骤四】．

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二、变式基础练

2. (2024九上·上海市期中) 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A= $\text{[math]}$ ， BC=m，那么AB的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024八下·大石桥期中) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长度是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、变式提升练

4. (2024九上·娄底期末) 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的体现，在计算 $\text{[math]}$ 时，如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．类比这种方法，
1. （1）类比这种方法，求得 $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图2，锐角 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
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5. (2023九上·南关月考) 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若 $\text{[math]}$ ，则把这种分割叫做黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，这个比值叫做黄金比．

图① 图② 图③
1. （1）如图①，点P是线段AB的黄金分割点，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求黄金比x的值．
  （精确到0.001，参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
2. （2）如图②，在△ABC中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， BD是△ABC的角平分线．
  求证：点D是线段AC的黄金分割点．
3. （3）如图③，点E是正方形ABCD的BC边的中点，以点E为圆心以ED长为半径画弧，交射线BC于点F，过点F作 $\text{[math]}$ 交射线AD于点G．若 $\text{[math]}$ ，请直接写出AB的长．
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6. [探究与证明]折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
[动手操作]如图①，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B'，E'，展平纸片，连结AB'，BB'，BE'．请完成：
1. （1）观察图①中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系；
2. （2）证明(1)中的猜想；
3. （3） [类比操作]如图②，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕EF ；折叠纸片，使点B，P分别落在EF，BN上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为B'，P'，展平纸片，连接BB'，P'B'．请完成：
  求证：BB'是∠NBC的一条三等分线．
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7. (2023九上·青白江期中) 如图
1. （1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．
2. （2）【问题解决】如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．
3. （3）【类比迁移】如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．
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8. (2024八上·长春期末)

（1）【教材呈现】下图是华师版数学教材八年级下册第117页的部分内容

例5如图19.2.13，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F ，求证：四边形AFCE是菱形.

分析要证四边形AFCE是菱形，由已知条件可知 $\text{[math]}$ ，所以只需证明四边形AFCE是平行四边形，又知EF垂直平分AC ，所以只需证 $\text{[math]}$ .

图19.2.13

请根据教材分析，结合图①，写出完整的证明过程

（2）证明【结论应用】如图②，直线EF分别交矩形ABCD的边AD、BC于点E、F ，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C与点A重合，点D落到点 $\text{[math]}$ 处.若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则矩形ABCD的面积为.

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9. (2023九上·九台期中) 【教材呈现】下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容：

我们可以发现，当两条直线与一组平行线相交时，所截得的线段存在一定的比例关系： $\text{[math]}$ ．这就是如下的基本事实：

两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．（简称“平行线分线段成比例”）

（1）【问题原型】如图①，在矩形ABCD中，点E为边AB的中点，过E作EF∥AD交边DC于点F，点P、Q分别在矩形的边AD、BC上，连结PQ交EF于点M．求证：PM＝QM．
（2）【结论应用】如图②，在【问题原型】的基础上，点R在边BC上（不与点Q重合），连结PR交EF于点N．
若MN＝4，则线段QR的长为；
（3）当点Q与点B重合，点R与点C重合时，如图③，若BC＝10，且△PMN周长的最小值为12，则边AB的长为．

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10. (2023九上·九台期中) [教材呈现]如图是华师版教材九年级上册52页的部分内容：
我们可以发现，当两条直线与一组平行线相交时，所截得的线段存在一定的比例关系： $\text{[math]}$ ．这就是如下的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
（简称“平行线分线段成比例" ）
1. （1） [问题原型]如图①，在矩形ABCD中，点E为边AB的中点，过E作EF∥AD交，边DC于点F，点P、Q分别在矩形的边AD、BC上，连接PQ交EF于点M．求证： PM= QM；
2. （2） [结论应用]如图②，在[问题原型]的基础上，点R在边BC上（不与点Q重合），
  连接PR交EF于点N．
  ①若MN=4，则线段QR的长为
  ②当点Q与点B重合，点R与点C重合时，如图③，若BC=10，且△PMN周长的最小值为12，则边AB的长为
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四、变式培优练

11. (2024九上·威宁期末) 定义：长宽比为 $\text{[math]}$ （n为正整数）的矩形称为 $\text{[math]}$ 矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个 $\text{[math]}$ 矩形，如图①所示．
操作1：将正方形 $\text{[math]}$ 沿过点 $\text{[math]}$ 的直线折叠，使折叠后的点 $\text{[math]}$ 落在对角线 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处，折痕为 $\text{[math]}$ ．
操作2：将 $\text{[math]}$ 沿过点 $\text{[math]}$ 的直线折叠，使点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别落在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，折痕为 $\text{[math]}$ ．
则四边形 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 矩形．
证明：设正方形 $\text{[math]}$ 的边长为1，则 $\text{[math]}$ ．
由折叠性质可知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 为矩形，
∴ $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ，
∴四边形 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 矩形．
阅读以上内容，回答下列问题：
1. （1）在图①中，所有与 $\text{[math]}$ 相等的线段是、， $\text{[math]}$ 的值是；
2. （2）已知四边形 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 矩形，模仿上述操作，得到四边形 $\text{[math]}$ ，如图②，求证：四边形 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 矩形；
3. （3）将图②中的 $\text{[math]}$ 矩形 $\text{[math]}$ 沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“ $\text{[math]}$ 矩形”，则 $\text{[math]}$ 的值是．
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12. (2024九下·西安开学考)
1. （1）问题提出如图①，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE，若AD＝9，∠DCE＝15°，求△BCE外接圆的半径长．
2. （2）问题解决某社区准备设计一个矩形花园，如图②是花园的示意图，图中EF，EG，FG，FC是花园内四条小路，这四条小路将花园分成五个三角形区域，分别用来种植不同种类的花．根据设计要求，∠EGF＝∠BCF，∠EFC＝90°，DF：DC＝1：2，AE＝8米．该矩形花园面积是否存在最大值？若存在，请求出其最大面积；若不存在，请说明理由．
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13. (2024·清城模拟) 已知四边形ABCD中，E ， F分别是AB ， AD边上的点，DE与CF交于点G ，令＝k ．
1. （1）特例解析：如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF ，求证： $\text{[math]}$ ＝k；
2. （2）类比探究：如图2，若四边形ABCD是平行四边形，当∠B与∠EGC满足什么关系时， $\text{[math]}$ ＝k仍然成立？并证明你的结论；
3. （3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下， $\text{[math]}$ ， ∠AED＝45°，求DE的长．
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14. (2024八上·坪山期末) 如图，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 轴，点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的动点，以 $\text{[math]}$ 为边在 $\text{[math]}$ 右上侧作等腰直角 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图1当点 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 时，则点 $\text{[math]}$ 的坐标是；
2. （2）学生甲认为点 $\text{[math]}$ 的坐标一定跟点 $\text{[math]}$ 有关，于是进行了如下探究：
  如图2，小聪同学画草图时，让点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 不同的特殊位置时（ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上、 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴平行、当 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 轴上时对应点 $\text{[math]}$ ），画出了几个点对应的 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三个不同的位置，发现 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在同一条直线上，请你根据学生甲的猜测及题目条件，求出点 $\text{[math]}$ 所在直线的解析式；
3. （3）在（2）中，虽然求出了点 $\text{[math]}$ 所在直线的解析式，但是小明同学认为几个特殊点确定解析式是一种猜测，当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上运动时，所有的 $\text{[math]}$ 点都在一条直线上吗？就解设了点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，希望用一般推理的方式求出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 满足的关系式，请你帮助小明给出解答．
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15. (2024九上·都江堰期末)
1. （1）【观察与猜想】
  如图1，点 $\text{[math]}$ 是矩形 $\text{[math]}$ 内一点，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ ，分别交矩形的边为点 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；
2. （2）【类比探究】
  如图2，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）【拓展延伸】
  如图3，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．
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16. (2023九上·朝阳期中) 综合与实践：在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，现有矩形纸片 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）操作发现
  操作一：如图1，将矩形 $\text{[math]}$ 纸片沿对角线 $\text{[math]}$ 折叠，使点B落在点 $\text{[math]}$ 处，将纸片展平再次折叠，使点A与点C重合，折痕为 $\text{[math]}$ ，然后展平得到图2，则以点A ， F ， C ， E为顶点的四边形是什么特殊四边形？并说明理由；
2. （2）实践探究
  操作二：如图3，在矩形纸片 $\text{[math]}$ 中，点G为 $\text{[math]}$ 的中点，将纸片沿 $\text{[math]}$ 折叠，使点B落在点 $\text{[math]}$ 处，连接 $\text{[math]}$ ．
  ①判断 $\text{[math]}$ 与折痕 $\text{[math]}$ 的位置关系，并说明理由；
  ②求 $\text{[math]}$ 的长．
3. （3）拓展应用
  将矩形纸片 $\text{[math]}$ 裁剪为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在图3的情形下，若G为 $\text{[math]}$ 上任意一点，其他条件不变，当点A与点 $\text{[math]}$ 距离最小时，直接写出BG的长．
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17. [推理能力]如图，在□ABCD中，AB=2cm，AC=5cm ，S▱ABCD =8 cm²，点 E 从点 B 出发，以1cm/s的速度在 AB 的延长线上向右运动，同时点 F 从点 D 出发，以同样的速度在 CD的延长线上向左运动，运动时间为t(s).
1. （1）在运动过程中，四边形 AECF 的形状是 .
2. （2）当t=时，四边形 AECF 是矩形.
3. （3）当 t 的值为多少时，四边形 AECF 是菱形?
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18. [探究与证明]折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘.
[动手操作]如图1，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B落在EF.上，并使折痕经过点A，得到折痕AM.点B，E的对应点分别为B'，E'，展平纸片，连结AB'，BB'，BE'.请完成：
1. （1）观察图1中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系.
2. （2）证明（1）中的猜想.
3. （3） [类比操作]如图2，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连结BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B，P分别落在EF，BN上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为B'，P'，展平纸片，连结BB'，P'B'.请完成：
  证明BB'是∠NBC的一条三等分线.
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