2023-2024学年沪科版初中数学七年级下册 8.4 因式...

更新时间：2024-04-02 浏览次数：17 类型：同步测试

一、选择题

1. (2024八上·黔南期末) 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）

A . a（a﹣3）＝a²﹣3a B . （a+1）²＝a²+2a+1 C . $\text{[math]}$ D . a²﹣9＝（a+3）（a﹣3）

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2. (2024八下·昆明开学考) 下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 下列自然数中，能整除 3²⁰⁰-4×3¹⁹⁹+10×3¹⁹⁸的是（）

A . 4 B . 5 C . 6 D . 7

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4. 若 $\text{[math]}$ 2021m，则m的值为（）

A . 2023 B . 2024 C . 2025 D . 2026

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5. 若三角形的三条边长分别为a，b，c且a²b-a²c+b²c-b³=0 ，则这个三角形一定是（）

A . 等腰三角形 B . 直角三角形 C . 等边三角形 D . 等腰直角三角形

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6. 已知M=8x²-y²+6x-2，N=9x²+4y+13，则M-N的值为（）

A . 正数 B . 负数 C . 非正数 D . 不能确定

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7. (2023七下·昌黎期末) 把多项式 $\text{[math]}$ 因式分解成 $\text{[math]}$ ，则m的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 3 C . 5 D . 7

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8. (2022七下·余姚竞赛) 对任意一个两位数n，如果n满足个位与十位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，得到一个新两位数：把所得的新两位数与原两位数的和与11的商记为F（n）．例如n＝23．互换十位与个位上的数字得到32，所得的新两位数与原两位数的和为23+32＝55，55÷11＝5，所以F（23）＝5．若s，t都是“相异数”，其中s＝10x+3，t＝50+y（1≤x≤9，1≤y≤9．x，y都是正整数），当F（s）+F（t）＝15时，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 4

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二、填空题

9. (2024八下·月湖期末) 因式分解： $\text{[math]}$ .

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10. 若m+n＝2，mn＝1，则m³n+mn³+2m²n²＝．

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11. (2023·潼南模拟) 对于一个两位数 $\text{[math]}$ 十位和个位均不为 $\text{[math]}$ ，将这个两位数 $\text{[math]}$ 的十位和个位上的数字对调得到新的两位数 $\text{[math]}$ ，称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的“对调数”，将 $\text{[math]}$ 放在 $\text{[math]}$ 的左侧得到一个四位数，记为 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 放在 $\text{[math]}$ 的右侧得到一个四位数，记为 $\text{[math]}$ ，规定 $\text{[math]}$ ，例如： $\text{[math]}$ 的对调数为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ 为整数， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为整数， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的十位、个位均不为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对调数与 $\text{[math]}$ 的对调数之和能被 $\text{[math]}$ 整除，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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12. 一个两位正整数，将其个位与十位上的数交换位置后，放在原数的后面组成一个四位数 $\text{[math]}$ ，那么我们把这个四位数称为“顺利数”，并规定 $\text{[math]}$ 为交换位置后组成的两位数与原两位数的平方差 $\text{[math]}$ 例如：将 $\text{[math]}$ 交换位置后为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是一个“顺利数”，且 $\text{[math]}$ ，若四位正整数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的千位数字为 $\text{[math]}$ ，百位数字为 $\text{[math]}$ ，十位数字为 $\text{[math]}$ ，个位数字为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为整数， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 的十位数字和个位数字组成两位数，交换位置后放在此两位数之后组成的数为“顺利数” $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为；满足条件的所有数 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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13. (2019七下·嘉兴期末) 在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x⁴-y⁴ ，因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x²+y²)，若取x=9，y=9时，则各个因式值是：(x+y)=18，(x-y)=0，(x²+y²)=162,于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x³-xy² ，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是(写出一个即可).

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三、解答题

14. 将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是“分组分解法”.
例如：am+an+bm+bn
=(am+an)+(bm+bn)
=a(m+n)+b(m+n)
=(a+b)(m+n).
1. （1）用“分组分解法”因式分解：
  ① $\text{[math]}$ .
  ② $\text{[math]}$ .
2. （2）若a，b都是正整数且满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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15. (2023八上·嘉祥月考) 先阅读下面的材料，再分解因式．
要把多项式 $\text{[math]}$ 分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出a ，再把它的后两项分成一组，并提出b ，从而得 $\text{[math]}$ ．
这时，由于 $\text{[math]}$ 中又有公因式 $\text{[math]}$ ，于是可提公因式 $\text{[math]}$ ，从而得到 $\text{[math]}$ ，因此有 $\text{[math]}$ ．
这种因式分解的方法叫做“分组分解法”，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解因式．
1. （1）请用上面材料中提供的方法分解因式：
  ① $\text{[math]}$ ；
  ② $\text{[math]}$ ；
  ③ $\text{[math]}$ ．
2. （2）已知 $\text{[math]}$ 的三边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，并且 $\text{[math]}$ ，试判断此三角形的形状．
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四、综合题

16. (2022七上·大丰期中) 阅读：一个正整数n可以分解为两个正整数p、q的积，即 $\text{[math]}$ （规定 $\text{[math]}$ ），在n的所有这种分解中，如果两因数p、q之差的绝对值最小，则称 $\text{[math]}$ 是n的最优分解，称 $\text{[math]}$ 为n的最优分解比.
1. （1）尝试：24可以分解成 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是24的最优分解，最优分解比为；
2. （2） $\text{[math]}$ 的最优分解是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的最优分解比为；
3. （3）请写出一个在20到40范围之间正整数：，使它的最优分解比为1；
4. （4）探索：n是一个正整数（ $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ 的最优分解比为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值，写出简要过程.
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17. (2022八上·南昌月考) 阅读理解应用
待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．
待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解 $\text{[math]}$ ．
因为 $\text{[math]}$ 为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积．
故我们可以猜想 $\text{[math]}$ 可以分解成 $\text{[math]}$ ，展开等式右边得：
$\text{[math]}$ ，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，可以求出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
所以 $\text{[math]}$
1. （1）若 $\text{[math]}$ 取任意值，等式 $\text{[math]}$ 恒成立，则 $\text{[math]}$ ；
2. （2）已知多项式 $\text{[math]}$ 有因式 $\text{[math]}$ ，请用待定系数法求出该多项式的另一因式．
3. （3）请判断多项式 $\text{[math]}$ 是否能分解成两个整系数二次多项式的乘积，并说明理由．
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