重庆市缙云教育联盟2024届高三上学期1月第一次诊断性检测（...

更新时间：2024-06-06 浏览次数：23 类型：高考模拟

一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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2. (2024高三上·辽宁五校联考期末) $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的共轭复数 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知函数 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成立，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知 $\text{[math]}$ 是两条不同直线， $\text{[math]}$ 是三个不同平面，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$

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5. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则方程 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的所有实根之和为（）

A . 0 B . 3 C . 6 D . 12

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7. (2024高三上·沙坪坝月考) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 4 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的，少选择1个正确选项得3分，少选择2个正确选项得1分，否则得0分。

8. 已知 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ E . $\text{[math]}$

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9. 已知 $\text{[math]}$ 为坐标原点，抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F ， A ， B是抛物线上两个不同的点， $\text{[math]}$ 为线段AB的中点，则（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 到准线距离的最小值为3 B . 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 到准线的距离为 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 到准线的距离为 $\text{[math]}$ D . 若AB过焦点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为直线AB左侧抛物线上一点，则 $\text{[math]}$ 面积的最大值为 $\text{[math]}$ E . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 到直线AB距离的最大值为4

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10. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数 $\text{[math]}$ 被称为狄利克雷函数，其中 $\text{[math]}$ 为实数集， $\text{[math]}$ 为有理数集，则以下关于狄利克雷函数 $\text{[math]}$ 的结论中，正确的是（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 为偶函数 B . 函数 $\text{[math]}$ 的值域是 $\text{[math]}$ C . 对于任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ D . 在 $\text{[math]}$ 图象上不存在不同的三个点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为等边三角形 E . 在 $\text{[math]}$ 图象存在不同的三个点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为等边三角形

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

11. 已知 $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 上一点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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12. 已知二项式 $\text{[math]}$ 的展开式中第二、三项的二项式系数的和等于45，则展开式的常数项为．

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13. 椭圆 $\text{[math]}$ 上的点P到直线 $\text{[math]}$ 的最大距离是；距离最大时点P坐标为.

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14. 我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（biē）臑（nào）”的几何体，它指的是由四个直角三角形围成的四面体，那么在一个长方体的八个顶点中任取四个，所组成的四面体中“鳖臑”的个数是.

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四、解答题：本题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. 记 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ .已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．
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16. 已知正项数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$
2. （2）在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 间插入n个数，使这 $\text{[math]}$ 个数组成一个公差为 $\text{[math]}$ 的等差数列，在数列 $\text{[math]}$ 中是否存在3项 $\text{[math]}$ ，（其中m ， k ， p成等差数列）成等比数列?若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．
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17. 已知函数 $\text{[math]}$ （a为常数）.
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）若存在两个不相等的正数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .
3. （3）若 $\text{[math]}$ 有两个零点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
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18. （15分）
在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，内切圆半径为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，记顶点 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  (i) 设 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，证明：存在唯一常数 $\text{[math]}$ ，使得当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；
  (ii) 若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 最大时，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积．
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19. 某工厂引进新的生产设备 $\text{[math]}$ ，为对其进行评估，从设备 $\text{[math]}$ 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
直径/mm
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合计
件数
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
100
经计算，样本的平均值 $\text{[math]}$ ，标准差 $\text{[math]}$ ，以频率值作为概率的估计值.
1. （1）为评估设备 $\text{[math]}$ 对原材料的利用情况，需要研究零件中某材料含量 $\text{[math]}$ 和原料中的该材料含量 $\text{[math]}$ 之间的相关关系，现取了8对观测值，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的线性回归方程.
2. （2）为评判设备 $\text{[math]}$ 生产零件的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为 $\text{[math]}$ ，并根据以下不等式进行评判（ $\text{[math]}$ 表示相应事件的概率）；
  ① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ .
  评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备 $\text{[math]}$ 的性能等级.
3. （3）将直径小于等于 $\text{[math]}$ 或直径大于 $\text{[math]}$ 的零件认为是次品．从样本中随意抽取2件零件，再从设备 $\text{[math]}$ 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品总数 $\text{[math]}$ 的数学期望 $\text{[math]}$ .
  附：①对于一组数据 $\text{[math]}$ ，其回归直线 $\text{[math]}$ 的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
  ②参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
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五、本题分为Ⅰ、Ⅱ两部分，考生选其中一部分作答.若多选，则按照第Ⅰ部分积分.

20. 把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，椭圆柱 $\text{[math]}$ 中底面长轴 $\text{[math]}$ ，短轴长 $\text{[math]}$ 为下底面椭圆的左右焦点， $\text{[math]}$ 为上底面椭圆的右焦点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的动点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的动点， $\text{[math]}$ 为过点 $\text{[math]}$ 的下底面的一条动弦（不与 $\text{[math]}$ 重合）．
1. （1）求证：当 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点时， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 是下底面椭圆上的动点， $\text{[math]}$ 是点 $\text{[math]}$ 在上底面的投影，且 $\text{[math]}$ 与下底面所成的角分别为 $\text{[math]}$ ，试求出 $\text{[math]}$ 的取值范围．
3. （3）求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积的最大值．
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21. 如图1，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求将六边形 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 轴旋转半周（等同于四边形 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 轴旋转一周）所围成的几何体的体积；
2. （2）将平面 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 旋转到平面 $\text{[math]}$ ，使得平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角；
3. （3）某“ $\text{[math]}$ ”可以近似看成，将图1中的线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 改成同一圆周上的一段圆弧，如图2，将其绕 $\text{[math]}$ 轴旋转半周所得的几何体，试求所得几何体的体积.
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