四川省绵阳市三台中学校2023-2024学年高二下学期第一次...

更新时间：2024-04-28 浏览次数：17 类型：月考试卷

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. (2024高二下·三台月考) 数列 $\text{[math]}$ 的递推公式可以是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高二下·三台月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 从1到 $\text{[math]}$ 的平均变化率为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024高二下·三台月考) 已知数列 $\text{[math]}$ 为等差数列，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 2 B . 4 C . 6 D . 8

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4. (2024高二下·三台月考) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . -2024 C . $\text{[math]}$ D . 2024

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5. (2024高二下·三台月考) 记 $\text{[math]}$ 为等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 21 B . 18 C . 15 D . 12

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6. (2024高二下·三台月考) 设P为曲线C： $\text{[math]}$ 上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是 $\text{[math]}$ ，则点P横坐标的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高二下·三台月考) 已知首项为1的数列 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 对任意正整数 $\text{[math]}$ 恒成立，则数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ 为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高二下·三台月考) 已知正数数列 $\text{[math]}$ 是公比不等于1的等比数列，且 $\text{[math]}$ ，试用推导等差数列前 $\text{[math]}$ 项和的方法探求：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2022 B . 4044 C . 2023 D . 4046

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二、多选题（本大题共4小题，每小5分，共20分．全对5分，部分选对2分，有错选0分）

9. (2024高二下·三台月考) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和公式为 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 数列 $\text{[math]}$ 的首项为 $\text{[math]}$ B . 数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ C . 数列 $\text{[math]}$ 为递减数列 D . 数列 $\text{[math]}$ 为递增数列

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10. (2024高二下·三台月考) 以下叙述不正确的是（）

A . 若等比数列 $\text{[math]}$ 单调递减，则其公比 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ B . 等比数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 等差数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 公差 $\text{[math]}$ 为负的等差数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，当且仅当 $\text{[math]}$ 时其前 $\text{[math]}$ 项和取得最大值

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11. (2024高二下·三台月考) 下列命题正确的有（）

A . 已知函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上可导，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 已知函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 设函数 $\text{[math]}$ 的导函数为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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12. (2024高三下·赣州月考) 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘 $\text{[math]}$ 再加上 $\text{[math]}$ ；若是偶数，就将该数除以 $\text{[math]}$ ．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 $\text{[math]}$ ．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数 $\text{[math]}$ ，根据上述运算法则得出 $\text{[math]}$ ．猜想的递推关系如下：已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案直接填在答题卡中的横线上．）

13. (2024高二下·三台月考) 曲线 $\text{[math]}$ 在点在 $\text{[math]}$ 时的切线斜率为.

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14. (2024高二下·三台月考) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若对任意的 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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15. (2024高二下·三台月考) 正项数列 $\text{[math]}$ 共有9项，前3项成等差，后7项成等比， $\text{[math]}$ .前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为.

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16. (2024高二下·三台月考) 若 $\text{[math]}$ 分别是曲线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 上的点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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四、解答题（本大题共6个小题，其中第17题10分，其余每小题12分，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）

17. (2024高二下·三台月考) 等差数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式：
2. （2）已知数列 $\text{[math]}$ 是首项为1，公比为2的等比数列，求 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．
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18. (2024高二下·三台月考) 已知曲线 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线在 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）若曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线与曲线 $\text{[math]}$ 相切，求 $\text{[math]}$ 的取值．
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19. (2024高二下·三台月考) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）确定常数 $\text{[math]}$ ，并求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的前15项和 $\text{[math]}$ ．
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20. (2024高二下·三台月考) 记 $\text{[math]}$ 为等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和.已知 $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）记 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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21. (2024高二下·三台月考) 某企业年初在一个项目上投资 $\text{[math]}$ 千万元，据市场调查，每年获得的利润为投资的 $\text{[math]}$ ，为了企业长远发展，每年底需要从利润中取出 $\text{[math]}$ 万元进行科研、技术改造，其余继续投入该项目．设经过 $\text{[math]}$ 年后，该项目的资金为 $\text{[math]}$ 万元．
1. （1）写出一个递推公式，表示 $\text{[math]}$ 之间的关系，并求证：数列 $\text{[math]}$ 为等比数列；
2. （2）若该项目的资金达到翻一番，至少经过几年？（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
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22. (2024高二下·三台月考) 如图，曲线 $\text{[math]}$ 下有一系列正三角形，设第n个正三角形 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为坐标原点）的边长为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）求出 $\text{[math]}$ 的通项公式；
3. （3）设曲线在点 $\text{[math]}$ 处的切线斜率为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
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