江苏省苏州市2023-2024学年高一下学期期中调研数学试题

更新时间：2024-05-08 浏览次数：30 类型：期中考试

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. (2024高一下·苏州期中) $\text{[math]}$ 是虚数单位，则复数 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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2. (2024高一下·苏州期中) 已知单位向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 3

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3. (2024高一下·苏州期中) $\text{[math]}$ 是虚数单位，则 $\text{[math]}$ 的共轭复数是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024高二下·大理期中) 已知△ABC的内角A ， B ， C所对的边分别是a ， b ， c ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024高一下·苏州期中) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 3 D . 6

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6. (2024高一下·苏州期中) 下列命题正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 若向量 $\text{[math]}$ ，把 $\text{[math]}$ 向右平移2个单位，得到的向量的坐标为 $\text{[math]}$ C . 在△ABC中， $\text{[math]}$ 是△ABC为锐角三角形的充要条件 D . 在△ABC中，若 $\text{[math]}$ 为任意实数，且 $\text{[math]}$ ，则P点的轨迹经过△ABC的内心

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7. (2024高一下·苏州期中) 苏州国际金融中心为地处苏州工业园区湖东CBD核心区的一栋摩天大楼，曾获2020年度CTBUH全球高层建筑卓越奖．建筑整体采用“鲤鱼跳龙门”之“鱼”作为象征主题，以“鱼跃龙门”为设计理念，呈鲤鱼飞跃之势寓意繁荣昌盛，大楼面向金鸡湖，迎水展开，如鱼尾般曼妙的弧线，从水面沿裙房一直延伸至主塔楼，某测量爱好者在过国际金融中心底部（当作点Q）一直线上位于Q同侧两点A ， B分别测得金融中心顶部点P的仰角依次为30°，45°，已知AB的长度为330米，则金融中心的高度约为（）

A . 350米 B . 400米 C . 450米 D . 500米

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8. (2024高一下·苏州期中) 在平行四边形ABCD中，E为CD的中点， $\text{[math]}$ ， AF与BE交于点G ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. (2024高一下·湖州月考) 在△ABC中，下列说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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10. (2024高一下·苏州期中) $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是复数，下列说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是纯虚数 B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 互为共轭虚数，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点关于实轴对称 D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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11. (2024高一下·苏州期中) 已知P是边长为1的正六边形ABCDEF内一点（含边界），且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列正确的是（）

A . △PCD的面积为定值 B . $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ C . ∠CPD的取值范围是 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. (2024高一下·苏州期中) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为两个不共线的非零向量，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线，则k的值为．

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13. (2024高一下·苏州期中) △ABC中，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. (2024高一下·苏州期中) 已知△ABC的外接圆半径为1，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (2024高一下·苏州期中) 已知复数z在复平面上对应点在第一象限，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的虚部为2．
1. （1）求复数z；
2. （2）设复数z、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在复平面上对应点分别为A、B、C ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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16. (2024高一下·苏州期中) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不共线，点P满足 $\text{[math]}$ ， x ， $\text{[math]}$ ．证明：
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，则点P是线段AB的中点；
2. （2） $\text{[math]}$ 是A、B、P三点共线的充要条件．
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17. (2024高一下·苏州期中) 在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C满足：A在x轴的正半轴上，C的横坐标是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是锐角， $\text{[math]}$ 是钝角．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的值．
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18. (2024高一下·辽宁月考) 如图，在平面四边形ABCD中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， △ABC为等边三角形，记 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求△ABD的面积；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求△ABD的面积的取值范围．
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19. (2024高一下·苏州期中) 某高一数学研究小组，在研究边长为1的正方形ABCD某些问题时，发现可以在不作辅助线的情况下，用高中所学知识解决或验证下列有趣的现象．
若P ， Q分别为边AB ， DA上的动点，当△APQ的周长为2时，PQ有最小值（图1）、∠PCQ为定值（图2）、C到PQ的距离为定值（图3）．请你分别解以上问题．
1. （1）如图1，求PQ的最小值；
  图1
2. （2）如图2，证明：∠PCQ为定值；
  图2
3. （3）如图3，证明：C到PQ的距离为定值．
  图3
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