2024年中考数学精选压轴题之方程类综合应用

更新时间：2024-05-11 浏览次数：42 类型：三轮冲刺

一、选择题（每题3分，共36分）

1. (2024八下·黄石月考) 若二次根式 $\text{[math]}$ 有意义，且关于x的分式方程 $\text{[math]}$ +2＝ $\text{[math]}$ 有正数解，则符合条件的整数m的和是（）

A . ﹣7 B . ﹣6 C . ﹣5 D . ﹣4

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2. (2024七下·洪雅月考) 若关于x ， y的二元一次方程组 $\text{[math]}$ 的解是 $\text{[math]}$ ，则关于m ， n的二元一次方程组 $\text{[math]}$ 的解是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024七下·拱墅月考) 已知关于x，y的方程组 $\text{[math]}$ ，给出下列说法：
①当 $\text{[math]}$ 时，方程组的解也是 $\text{[math]}$ 的解；
②若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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4. (2024八下·深圳期末) 若分式方程 $\text{[math]}$ 无解，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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5. (2024七上·深圳期末) 如图，线段 $\text{[math]}$ ，动点P从A出发，以 $\text{[math]}$ 的速度沿 $\text{[math]}$ 运动，M为 $\text{[math]}$ 的中点，N为 $\text{[math]}$ 的中点．以下说法正确的是（    ）
①运动 $\text{[math]}$ 后， $\text{[math]}$ ；   ② $\text{[math]}$ 的值随着运动时间的改变而改变；③ $\text{[math]}$ 的值不变；
④当 $\text{[math]}$ 时，运动时间为 $\text{[math]}$ ．


A . ①② B . ②③ C . ①②③ D . ②③④

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6. (2024九上·岳阳期末) 图①是一张长 $\text{[math]}$ ，宽 $\text{[math]}$ 的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为 $\text{[math]}$ 的有盖长方体盒子．设该盒子的高为 $\text{[math]}$ ，根据题意，可列方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024七上·龙岗期末) 我国古代的“九宫图”是由 $\text{[math]}$ 的方格构成的，每个方格均有不同的数，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫图”的一部分，请推算 $\text{[math]}$ 的值是（）

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2023九上·株洲期中) 如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM ，分别交AB、AC于D ， E两点，设BD=a ， DE=b ， CE=c ，关于x的方程 $\text{[math]}$ （）

A . 一定有两个相等实根 B . 一定有两个不相等实根 C . 有两个实根，但无法确定是否相等 D . 无实根

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9. (2022九上·渝中开学考) 若整数 $\text{[math]}$ 使得关于 $\text{[math]}$ 的分式方程 $\text{[math]}$ 有正整数解，且使得关于 $\text{[math]}$ 的不等式组 $\text{[math]}$ 有解，那么符合条件的所有整数 $\text{[math]}$ 的和为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2022九上·子洲月考) 已知关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ （其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（）．

A . 1可能是方程 $\text{[math]}$ 的根 B . -1可能是方程 $\text{[math]}$ 的根 C . 0可能是方程 $\text{[math]}$ 的根 D . 1和-1都是方程 $\text{[math]}$ 的根

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11. (2022七下·合阳期末) 在《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1所示的算筹图，表示的方程组就是 $\text{[math]}$ 类似地，图2所示的算筹图表示的方程组为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. (2022七上·磁县期末) 某超市在“元旦”活动期间，推出如下购物优惠方案：
①一次性购物在 $\text{[math]}$ 元（不含 $\text{[math]}$ 元）以内，不享受优惠；
②一次性购物在 $\text{[math]}$ 元（含 $\text{[math]}$ 元）以上， $\text{[math]}$ 元（不含 $\text{[math]}$ 元）以内，一律享受九折优惠；
③一次性购物在 $\text{[math]}$ 元（含 $\text{[math]}$ 元）以上，一律享受八折优惠；
小敏在该超市两次购物分别付了90 元和270元，如果小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款（）元

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题（每题3分，共18分）

13. (2024七下·新晃期中) 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前．书中记载了一个数学问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”其大意是：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，绳子比长木短1尺，问长木多少尺？”设绳长 $\text{[math]}$ 尺，木长 $\text{[math]}$ 尺，可列方程组为．

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14. (2024八下·宜宾月考) 二月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知二月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为2：4：5，销量之比为7：1：2．开学后不久，根据市场需求，在二月下旬文具店老板对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比二月上旬降低了 $\text{[math]}$ ， C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于二月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于二月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为4：7：5，且A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的 $\text{[math]}$ ，则二月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为．

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15. 甲、乙两班为运动会订购一批啦啦球，甲班开始订购的啦啦球数量是乙班订购数量的3倍，后来由于某种原因，甲班决定把自己所订购的啦啦球数量转让7个给乙班，但由于商家失误，寄来的啦啦球总数比甲、乙两班所定购的总数少了七个，最后甲班所购啦啦球数量是乙班所购数量的2倍，那么甲、乙两班最后所得的啦啦球总数最多是

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16. (2023九上·涪城月考) 已知等腰三角形 $\text{[math]}$ 的一边长 $\text{[math]}$ ，另外两边的长 $\text{[math]}$ 恰好是关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个根，则 $\text{[math]}$ 的周长为

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17. 若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为实数），则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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18. (2023·成都模拟) 2021年11月2日，重庆市九龙坡区、长寿区分别新增1例新冠本土确诊.当疫情出现后，各级政府及有关部门高度重视，坚决阻断疫情传播.开州区赵家工业园区一家民营公司为了防疫需要，引进一条口罩生产线生产口罩，该产品有三种型号，通过市场调研后，按三种型号受消费者喜爱的程度分别对A型、B型、C型产品在成本的基础上分别加价20%，30%，45%出售（三种型号的成本相同）.经过一个月的经营后，发现C型产品的销量占总销量的 $\text{[math]}$ ，且三种型号的总利润率为35%.第二个月，公司决定对A型产品进行升级，升级后A型产品的成本提高了25%，销量提高了20%；B型、C型产品的销量和成本均不变，且三种产品在第二个月成本基础上分别加价20%，30%，50%出售，则第二个月的总利润率为.

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三、解答题（共6题，共46分）

19. (2024七下·隆昌月考) 义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”。例如：方程 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为“美好方程”。
1. （1）若关于x的方程 $\text{[math]}$ 与方程 $\text{[math]}$ 是“美好方程”，求m的值；
2. （2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n ，求n的值；
3. （3）若关于x的一元一次方程 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是“美好方程”，求关于y的一元一次方程 $\text{[math]}$ 的解。
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20. (2024八下·南海月考) 定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程 $\text{[math]}$ 的解为 $\text{[math]}$ ，不等式组 $\text{[math]}$ 的解为 $\text{[math]}$ ，因为 $\text{[math]}$ ，所以称方程 $\text{[math]}$ 为不等式组 $\text{[math]}$ 的“相伴方程”．
1. （1）下列方程是不等式组 $\text{[math]}$ 的“相伴方程”的是；（填序号）
  ① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ．
2. （2）若关于x的方程 $\text{[math]}$ 是不等式组 $\text{[math]}$ 0的“相伴方程”，求k的取值范围；
3. （3）若方程 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是关于x的不等式组 $\text{[math]}$ 的“相伴方程”，其中 $\text{[math]}$ ，求m的取值范围．
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21. (2024七下·安达开学考) 2016年春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩．甲、乙两单位共102人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人．经了解，该风景区的门票价格如下表：
数量（张）
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
101张及以上
单价（元/张）
60元
50元
40元
如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元．
1. （1）如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？
2. （2）甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？
3. （3）如果甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购买门票才能最省钱？
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22. (2024七上·新昌期末) 如图，某动力科学研究实验基地内装有一段长为91m的笔直轨道AB，现将长度为1m的金属滑块在上面往返滑动一次，滑动开始前，滑块左端与点A重合，滑动过程由三个阶段组成：1．滑块以9m/s的速度沿AB方向匀速滑动，当滑块的右端与点B重合时，滑动停止.2．滑块停顿2s.3．滑块以小于9m/s的速度沿BA方向匀速返回，当滑块的左端与点A重合时，滑动停止．设滑动时间为t（s）时，滑块左端离点A的距离为 $\text{[math]}$ （m），右端离点B的距离为 $\text{[math]}$ （m），
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．
2. （2）整个滑动过程总用时27s（含停顿的时间），请根据所给条件解决下列问题：
  ①求滑块返回的速度．
  ②记 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求t的值．
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23. (2024八下·杭州月考) 已知关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根，且 $\text{[math]}$ ，则称它们互为“同根轮换方程”．如 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互为“同根轮换方程”．
1. （1）方程 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互为“同根轮换方程”吗？
2. （2）若关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互为“同根轮换方程”，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）已知方程①： $\text{[math]}$ 和方程②： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是方程①和方程②的实数根，且 $\text{[math]}$ ．试问方程①和方程②是否能互为“同根轮换方程”？如果能，用含 $\text{[math]}$ 的代数式分别表示 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ；如果不能，请说明理由．
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24. (2024七下·武侯月考) 随着智能手机的普及，网购已经成为人们的一种生活方式，快递业也随之发展壮大。某快递公司每件普通物品的收费标准如下表：

寄往市内		寄往市外
首重	续重	首重	续重
$\text{[math]}$ 元／千克	$\text{[math]}$ 元／千克	$\text{[math]}$ 元／千克	$\text{[math]}$ 元／千克
说明：①每件快递按送达地（市内，市外）分别计算运费． ②运费计算方式：首重价格 $\text{[math]}$ 续重 $\text{[math]}$ 续重运费．首重均为 $\text{[math]}$ 千克，超过 $\text{[math]}$ 千克即要续重，续重以 $\text{[math]}$ 千克为计重单位（不足 $\text{[math]}$ 千克按 $\text{[math]}$ 千克计算）

例如：寄往市内一件 $\text{[math]}$ 千克的物品，运费总额为： $\text{[math]}$ 元．寄往市外一件 $\text{[math]}$ 千克的物品，运费总额为： $\text{[math]}$ 元．

（1）小华同时寄往市内一件 $\text{[math]}$ 千克的物品和市外一件 $\text{[math]}$ 千克的物品，各需付运费多少元？
（2）小彤同时寄往市内和市外同一件 $\text{[math]}$ 千克的物品，已知 $\text{[math]}$ 超过 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的整数部分是 $\text{[math]}$ ，小数部分小于 $\text{[math]}$ ，请用含字母的代数式表示市外与市内这两笔运费的差．
（3）某日小华和小彤同时在该快递公司寄物品，小华寄往市外，小彤寄往市内，小彤所寄物品的重量不是整数，小华的运费比小彤的运费多 $\text{[math]}$ 元，物品的重量比小彤多 $\text{[math]}$ 千克，则小华和小彤共需付运费多少元？