湖南省雅礼教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数...

更新时间：2024-07-09 浏览次数：6 类型：期中考试

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. (2024高二下·湖南期中) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高二下·湖南期中) 复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 4

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3. (2024高二下·湖南期中) “ $\text{[math]}$ ”是“方程 $\text{[math]}$ 表示双曲线”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. (2024高二下·湖南期中) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 4

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5. (2024高二下·湖南期中) 已知 $\text{[math]}$ 是等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，且满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 65 B . 55 C . 45 D . 35

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6. (2024高二下·湖南期中) 有5名志愿者去定点帮扶3位困难老人，若要求每名志愿者都要帮扶且只帮扶一位老人，每位老人至多安排2名志愿者帮扶，则不同的安排方法共有（）

A . 180种 B . 150种 C . 90种 D . 60种

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7. (2024高二下·湖南期中) 关于函数 $\text{[math]}$ ，下列说法正确的是（）
① $\text{[math]}$ 有两个极值点 ② $\text{[math]}$ 的图象关于原点对称
③ $\text{[math]}$ 有三个零点 ④ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减

A . ①④ B . ②④ C . ①③④ D . ①②③

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8. (2024高二下·湖南期中) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，满足 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 的短轴为直径作圆 $\text{[math]}$ ，截直线 $\text{[math]}$ 的弦长为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）

9. (2024高二下·湖南期中) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为不重合的两条直线， $\text{[math]}$ 为不重合的两个平面，下列命题正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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10. (2024高二下·湖南期中) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的有（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ B . 将函数 $\text{[math]}$ 的图象右移 $\text{[math]}$ 个单位后，得到一个奇函数 C . $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的一条对称轴 D . $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的一个对称中心

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11. (2024高二下·湖南期中) 定义域为 $\text{[math]}$ 的函数 $\text{[math]}$ ，对任意 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 不恒为0，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 为偶函数 C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 中心对称 D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12. (2024高二下·湖南期中) 已知平面向量 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线，则实数 $\text{[math]}$ ．

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13. (2024高二下·湖南期中) $\text{[math]}$ 的展开式中 $\text{[math]}$ 的系数为．（用数字作答）

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14. (2024高二下·湖南期中) 若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15. (2024高二下·湖南期中) 设函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的单调递增区间；
2. （2） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长．
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16. (2024高二下·湖南期中) 如图，已知多面体 $\text{[math]}$ 的底面 $\text{[math]}$ 是边长为2的正方形， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积；
3. （3）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值．
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17. (2024高二下·湖南期中) 2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占 $\text{[math]}$ ，并将这200人按年龄分组，第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示。
附： $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$
0.050
0.010
0.005
0.001

$\text{[math]}$
3.841
6.635
7.879
10.828
1. （1）求a ，并估计参与调查者的平均年龄；
2. （2）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，得到如下2×2列联表。请将列联表补充完整填入答题卡，并回答：依据小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，能否认为是否关注民生与年龄有关？
  
  关注民生问题
  不关注民生问题
  合计
  青少年
  
  中老年
  
  10
  
  合计
  
  200
3. （3）将此样本频率视为总体的概率，从网站随机抽取4名青少年，记录4人中“不关注民生问题”的人数为 $\text{[math]}$ ，求随机变量 $\text{[math]}$ 时的概率和随机变量 $\text{[math]}$ 的数学期望 $\text{[math]}$ ．
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18. (2024高二下·湖南期中) 已知函数 $\text{[math]}$ 为定义在 $\text{[math]}$ 上的偶函数，且当 $\text{[math]}$ 时，
$\text{[math]}$
1. （1） ①作出函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的图象；
  ②若方程 $\text{[math]}$ 恰有6个不相等的实根，求头数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）对于两个定义域相同的函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则称函数 $\text{[math]}$ 是由“基函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ”生成的．已知 $\text{[math]}$ 是由“基函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ”生成的，若 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成立，求实数 $\text{[math]}$ 的最小值．
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19. (2024高二下·湖南期中) 为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划．活动共计50多个班级参与，1000余件物品待出售．摄影社从中选取了20件物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，已知高三1，2，3班分别有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的同学有购买意向．假设三个班的人数比例为6：7：8．
1. （1）现从三个班中随机抽取一位同学；
  （ⅰ）求该同学有购买意向的概率；
  （ⅱ）如果该同学有购买意向，求此人来自2班的概率；
2. （2）对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以0元为初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于2，则在已叫价格基础上增加1元更新叫价，若点数小于3，则在已叫价格基础上增加2元更新叫价；重复上述过程，能叫到10元，即获得以10元为价格的购买资格，未出现叫价为10元的情况则失去购买资格，并结束叫价．若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，试估计其获得该笔记本购买资格的概率（精确到0.01）．
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