广东省广州四中2023-2024学年高二下学期数学期中试题

更新时间：2024-06-17 浏览次数：10 类型：期中考试

一、单选题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．）

1. 下列导数运算正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 函数 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的可导函数，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . 3 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 用5种不同的颜色对如图所示的A ， B ， C区域进行着色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则共有（）种不同的着色方法．

A . 60 B . 64 C . 80 D . 125

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4. 已知函数 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 若过点 $\text{[math]}$ 可以作曲线 $\text{[math]}$ 的两条切线，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知 $\text{[math]}$ 的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的 $\text{[math]}$ 项的系数为（）

A . ―4 B . 84 C . ―280 D . 560

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7. (2024高二下·仁寿期中) 若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2020·江西模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分）

9. 带有编号 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的五个球，则（）

A . 全部投入 $\text{[math]}$ 个不同的盒子里，共有 $\text{[math]}$ 种放法 B . 放进不同的 $\text{[math]}$ 个盒子里，每盒至少一个，共有 $\text{[math]}$ 种放法 C . 将其中的 $\text{[math]}$ 个球投入 $\text{[math]}$ 个盒子里的一个（另一个球不投入），共有 $\text{[math]}$ 种放法 D . 全部投入 $\text{[math]}$ 个不同的盒子里，没有空盒，共有 $\text{[math]}$ 种不同的放法

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10. 对于函数 $\text{[math]}$ ，下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处取得极大值为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 有两个不同的零点 C . $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上恒成立，则 $\text{[math]}$

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11. 定义：设 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的导函数， $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的导数，若方程 $\text{[math]}$ 有实数解 $\text{[math]}$ ，则称点 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数 $\text{[math]}$ 的对称中心为 $\text{[math]}$ ．则下列说法中正确的有（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的值是 $\text{[math]}$ C . 函数 $\text{[math]}$ 只有唯一零点 D . 过 $\text{[math]}$ 可以作三条直线与 $\text{[math]}$ 图象相切

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三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，满分15分）

12. 3名男生，4名女生，全体站成一排，男生不能站在一起的方法种数为．

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13. 某个体户计划同时销售A ， B两种商品，当投资额为x $\text{[math]}$ 千元时，在销售A ， B商品中所获收益分别为 $\text{[math]}$ 千元与 $\text{[math]}$ 千元，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如果该个体户准备共投入5千元销售A ， B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投千元．

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14. 已知函数f（x）的导函数为 $\text{[math]}$ ，对任意的实数x都 $\text{[math]}$ ，且f（0）=1，若f（x）在（-1，3）上有极值点，则实数a的取值范围是.

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四、解答题：（本大题共5小题，满分77分）

15. (2024高二上·台州期末) 已知数列 $\text{[math]}$ 是公比不为1的等比数列，其前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ .已知 $\text{[math]}$ 成等差数列， $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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16. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 的最值．
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17. 如图，三棱柱 $\text{[math]}$ 所有棱长均为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，侧面 $\text{[math]}$ 与底面 $\text{[math]}$ 垂直， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上靠近 $\text{[math]}$ 的三等分点，求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离．
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18. 已知双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在双曲线 $\text{[math]}$ 上．过 $\text{[math]}$ 的左焦点F作直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的左支于A、B两点．
1. （1）求双曲线C的方程；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，试问：是否存在直线 $\text{[math]}$ ，使得点M在以 $\text{[math]}$ 为直径的圆上?请说明理由．
3. （3）点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．设直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的斜率分别 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为定值．
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19. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）判断函数 $\text{[math]}$ 的单调性
2. （2）证明：①当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；
  ② $\text{[math]}$ .
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