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2024年中考数学考前20天终极冲刺专题之线段最值(一)

更新时间:2024-05-21 浏览次数:86 类型:三轮冲刺
一、选择题
二、填空题
三、解答题
  • 28. (2023九上·晋州期中) 数学课上,老师给出题目:如图所示,在 , 点DE分别是边和边上的动点,且 , 连接 . 请探究是否存在最小值?并说明理由.

    嘉淇的想法是把转移到某处,并使它们“接在一起”,然后利用“两点之间,线段最短”尝试探索,并成功解决了问题.以下是她的探索思路,请你按要求补充具体解题过程.

    1. (1) 在射线上取点F , 使 , 把绕点A顺时针旋转,使点D落在点F处,点C落在点G处.

      ①请你运用尺规作图(保留作图痕迹,不用给出证明),作出 , 并连接

      ②求证:

    2. (2) 在(1)的基础上,请你通过探索,求出的最小值,并直接写出此时的长度.
  • 29. (2023九下·宿迁开学考)

     

    【问题呈现】如图1,∠AOB=90°, OA=4,OB=5,点P在半径为2的⊙O上,求的最小值.

    【问题解决】小明是这样做的:如图2,在OA上取一点C使得OC=1,这样可得 , 又因为∠COP=∠POA,所以可得△COP ∽△POA,所以 , 得所以.

    又因为 , 所以最小值为      ▲      .

    【思路点拨】小明通过构造相似形(图3),将转化成CP,再利用“两点之间线段”最短”求出CP+ BP的最小值.

    【尝试应用】如图4,∠AOB=60°, OA=10,OB=9,点P是半径为6的⊙O上一动点,求的最小值.

    【能力提升】如图5,∠ABC=120°, BA= BC=8,点D为平面内一点且BD= 3CD,连接AD,则△ABD面积的最大值为      ▲      .

四、实践探究题
  • 30. (2023八上·南山月考) 【阅读材料】说明代数式的几何意义,并求它的最小值.

    解: , 如图1,建立平面直角坐标系,点P(x,0)是x轴上一点,则可以看成点P与点A(0,1)的距离,可以看成点P与点B(3,2)的距离,所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和,它的最小值就是求PA+PB的最小值.

    设点A关于x轴的对称点为A′,则PA=PA′,因此,求PA+PB的最小值,只需求PA′+PB的最小值,而点A′、B间的直线段距离最短,所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度.为此,构造直角三角形A′CB,因为A′C=3,CB=3,所以 , 即原式的最小值为

    根据以上阅读材料,解答下列问题:

    1. (1) 【基础训练】代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A(1,1)、点B 的距离之和;(填写点B的坐标)
    2. (2) 【能力提升】求代数式的最小值为 
    3. (3) 【拓展升华】如图2,在等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,点M,N分别为BC,AC上的动点,且 . 当AM+BN的值最小时,求CM的长.

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