嘉淇的想法是把和转移到某处,并使它们“接在一起”,然后利用“两点之间,线段最短”尝试探索,并成功解决了问题.以下是她的探索思路,请你按要求补充具体解题过程.
①请你运用尺规作图(保留作图痕迹,不用给出证明),作出 , 并连接;
②求证: .
【问题呈现】如图1,∠AOB=90°, OA=4,OB=5,点P在半径为2的⊙O上,求的最小值.
【问题解决】小明是这样做的:如图2,在OA上取一点C使得OC=1,这样可得 , 又因为∠COP=∠POA,所以可得△COP ∽△POA,所以 , 得所以.
又因为 , 所以最小值为 ▲ .
【思路点拨】小明通过构造相似形(图3),将转化成CP,再利用“两点之间线段”最短”求出CP+ BP的最小值.
【尝试应用】如图4,∠AOB=60°, OA=10,OB=9,点P是半径为6的⊙O上一动点,求的最小值.
【能力提升】如图5,∠ABC=120°, BA= BC=8,点D为平面内一点且BD= 3CD,连接AD,则△ABD面积的最大值为 ▲ .
解: , 如图1,建立平面直角坐标系,点P(x,0)是x轴上一点,则可以看成点P与点A(0,1)的距离,可以看成点P与点B(3,2)的距离,所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和,它的最小值就是求PA+PB的最小值.
设点A关于x轴的对称点为A′,则PA=PA′,因此,求PA+PB的最小值,只需求PA′+PB的最小值,而点A′、B间的直线段距离最短,所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度.为此,构造直角三角形A′CB,因为A′C=3,CB=3,所以 , 即原式的最小值为 .
根据以上阅读材料,解答下列问题: