2024年中考数学考前20天终极冲刺专题之线段最值（一）

更新时间：2024-05-22 浏览次数：88 类型：三轮冲刺

一、选择题

1. 如图， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是位于直线 $\text{[math]}$ 同侧的两个等边三角形，点 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点．若 $\text{[math]}$ ，则下列结论错误的是（）

A . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 周长的最小值为6 D . 四边形 $\text{[math]}$ 面积的最小值为 $\text{[math]}$

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2. (2024八下·宜宾月考) 如图，已知直线 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴于点B、A两点， $\text{[math]}$ ， D、E分别为线段 $\text{[math]}$ 和线段 $\text{[math]}$ 上一动点， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 的值最小时，则 $\text{[math]}$ 点的坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024九上·乌鲁木齐期末) 如图，在扇形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为半径 $\text{[math]}$ 上一动点．若 $\text{[math]}$ ，则阴影部分周长的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024·德阳模拟) 如图，直角三角形 $\text{[math]}$ 顶点 $\text{[math]}$ 在矩形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 上运动，连接 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024九上·苍溪期末) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的半径为1，点P是 $\text{[math]}$ 边上的动点，过点即P作 $\text{[math]}$ 的一条切线 $\text{[math]}$ （点Q为切点），则切线长 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . $\text{[math]}$ B . 3 C . $\text{[math]}$ D . 4

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6. (2023八上·济南开学考) 如图，∠AOB＝30°，点M，N分别是OA，OB上的动点，P为∠AOB内一点，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，MN的长为（　　）

A . 6 B . 12 $\text{[math]}$ -18 C . 18 $\text{[math]}$ -18 D . 12

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7. (2024八上·杭州期末) 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 刚好是 $\text{[math]}$ 中点，P、Q分别是线段 $\text{[math]}$ 上的动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 12 B . 15 C . 16 D . 18

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8. (2023·天河模拟) 如图：等边三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2023八下·花都期末) 如图，在边长为10的正方形 $\text{[math]}$ 对角线上有E，F两个动点，且 $\text{[math]}$ ，点P是 $\text{[math]}$ 中点，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 10

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10. (2023八下·庐江期末) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2024八下·台州开学考) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E在边BC上，并且 $\text{[math]}$ ，点F为边AC上的动点，将 $\text{[math]}$ 沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . 2 D . $\text{[math]}$

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12. (2024八上·龙江期末) 如图，正方形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是等边三角形，点 $\text{[math]}$ 在正方形 $\text{[math]}$ 内，在对角线 $\text{[math]}$ 上有一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 的和最小，则这个最小值为（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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13. (2023七下·清新期中) 如图：点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 轴上的动点，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得线段 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 长的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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14. (2023·齐齐哈尔模拟) 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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15. (2023九上·铜梁月考) 如图，在正方形ABCD中，E是边AD中点，F是边AB上一动点，G是EF延长线上一点，且GF＝EF ．若AD＝4，则EG²+CG²的最小值为（　　）

A . 52 B . 60 C . 68 D . 76

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16. (2023·四川模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中，P为平面内的一点，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . $\text{[math]}$ B . 36 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

17. (2024八下·经开期中) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的两个动点，且 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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18. (2024·深圳模拟) 如图，在直角坐标系中，已知点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴正半轴上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为一边向下作等边 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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19. (2023·阳东模拟) 如图，正方形ABCD的边长为12，⊙B的半径为6，点P是⊙B上一个动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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20. (2024八下·浙江期中) 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的中点， $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上的两个动点，且 $\text{[math]}$ ，则五边形 $\text{[math]}$ 的周长最小值为

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21. (2024九上·乌鲁木齐期末) 如图，在边长为6的等边△ABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为．

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22. (2024九下·西安开学考) 如图，在△ABC中，∠C＝60°，AC＝5，BC＝4，点D为CB延长线上一点．当点D在CB延长线上运动时，AD- $\text{[math]}$ BD的最小值为．

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23. (2023九上·石家庄期中) 如图，已知点 $\text{[math]}$ 坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴正半轴上一动点，则 $\text{[math]}$ 度数为，在点 $\text{[math]}$ 运动的过程中 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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24. (2023九上·苍南模拟) 如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，AE为∠BAD的平分线，F为AE上一动点，点M为DF的中点，连接BM，则BM的最小值是.

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25. (2023九上·阿城期中) 如图，已知直线 $\text{[math]}$ 与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以 $\text{[math]}$ 为圆心，1为半径的圆上一动点，连接 $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ 面积的最大值与最小值的差为．

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26. (2023八上·武汉月考) 如图，CD为等腰 $\text{[math]}$ 的高，其中 $\text{[math]}$ ， E ， F分别为线段CD ， AC上的动点，且 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 取最小值时， $\text{[math]}$ 的度数为．

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27. (2024九上·盘州期末) 如图，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为8，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上一点，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的一个动点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为一条直角边向右侧作等腰 $\text{[math]}$ ，且使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是．

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三、解答题

28. (2023九上·晋州期中) 数学课上，老师给出题目：如图所示，在 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D ， E分别是边 $\text{[math]}$ 和边 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．请探究 $\text{[math]}$ 是否存在最小值？并说明理由．
嘉淇的想法是把 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 转移到某处，并使它们“接在一起”，然后利用“两点之间，线段最短”尝试探索，并成功解决了问题．以下是她的探索思路，请你按要求补充具体解题过程．
1. （1）在射线 $\text{[math]}$ 上取点F ，使 $\text{[math]}$ ，把 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针旋转，使点D落在点F处，点C落在点G处．
  ①请你运用尺规作图（保留作图痕迹，不用给出证明），作出 $\text{[math]}$ ，并连接 $\text{[math]}$ ；
  ②求证： $\text{[math]}$ ．
2. （2）在（1）的基础上，请你通过探索，求出 $\text{[math]}$ 的最小值，并直接写出此时 $\text{[math]}$ 的长度．
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29. (2023九下·宿迁开学考)

【问题呈现】如图1，∠AOB=90°， OA=4，OB=5，点P在半径为2的⊙O上，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

【问题解决】小明是这样做的：如图2，在OA上取一点C使得OC=1，这样可得 $\text{[math]}$ ，又因为∠COP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ 所以 $\text{[math]}$ .

又因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 最小值为 ▲ .

【思路点拨】小明通过构造相似形（图3），将 $\text{[math]}$ 转化成CP，再利用“两点之间线段”最短”求出CP+ BP的最小值.

【尝试应用】如图4，∠AOB=60°， OA=10，OB=9，点P是半径为6的⊙O上一动点，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

【能力提升】如图5，∠ABC=120°， BA= BC=8，点D为平面内一点且BD= 3CD，连接AD，则△ABD面积的最大值为 ▲ .

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四、实践探究题

30. (2023八上·南山月考) 【阅读材料】说明代数式 $\text{[math]}$ 的几何意义，并求它的最小值．
解： $\text{[math]}$ ，如图1，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则 $\text{[math]}$ 可以看成点P与点A（0，1）的距离， $\text{[math]}$ 可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是求PA＋PB的最小值．
设点A关于x轴的对称点为A′，则PA＝PA′，因此，求PA＋PB的最小值，只需求PA′＋PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′＋PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C＝3，CB＝3，所以 $\text{[math]}$ ，即原式的最小值为 $\text{[math]}$ ．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
1. （1）【基础训练】代数式 $\text{[math]}$ 的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B 的距离之和；（填写点B的坐标）
2. （2）【能力提升】求代数式 $\text{[math]}$ 的最小值为；
3. （3）【拓展升华】如图2，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点M，N分别为BC，AC上的动点，且 $\text{[math]}$ ．当AM＋BN的值最小时，求CM的长．
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