湖南省长沙市长郡集团2024年中考数学模拟考试试卷

更新时间：2024-09-10 浏览次数：42 类型：中考模拟

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1. 图中比数轴上点 $\text{[math]}$ 表示的数大2的数是 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

A . $\text{[math]}$ B . 0 C . 1 D . 2

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2. (2023九上·平阴期中) 如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　）

A . B . C . D .

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3. 党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五．将数据十亿四千万用科学记数法表示为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知某三角形的三边长分别为10，3， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值可以是 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

A . 1 B . 5 C . 7 D . 9

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5. 已知一瓶牛奶的营养成分中碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共 $\text{[math]}$ ，根据成分表，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，设蛋白质、脂肪的含量分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，可列出方程为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 某地学校正评选学生最喜欢的风景胜地，校方进行问卷调查（每人选一个地点），并绘制成如图所示统计图．已知选择楠溪江的有240人，那么选择雁荡山的有 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

A . 90人 B . 180人 C . 270人 D . 360人

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7. 小红同学在一次作业中完成了以下作图步骤：
①在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上分别截取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ；
②分别以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为圆心，以大于 $\text{[math]}$ 的长为半径作弧，两弧在 $\text{[math]}$ 内交于点 $\text{[math]}$ ；
③作射线 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

A . $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$

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8. 某校计划组织研学活动，现有四个地点可供选择：岳麓山、梅溪湖、橘子洲、植物园．若从中随机选择两个地点，则选中“橘子洲”的概率为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 如图1所示为某景区游览路线及方向，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等．设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程 $\text{[math]}$ 与时间 $\text{[math]}$ 的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟．
则路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

A . 4200米 B . 4800米 C . 5200米 D . 5400米

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10. “割圆术”孕育了微积分思想，领先世界近千年．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图， $\text{[math]}$ 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计 $\text{[math]}$ 的面积，可得 $\text{[math]}$ 的估计值为 $\text{[math]}$ ，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得 $\text{[math]}$ 的估计值为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

A . $\text{[math]}$ B . 3 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11. 分解因式： $\text{[math]}$ ．

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12. (2023·福建) 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为．

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13. (2023·温州) 不等式组 $\text{[math]}$ 的解是。

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14. 某学校欲招聘一名教师．对甲、乙、丙三名应聘者进行了基础知识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示：
项目
应聘者
综合知识
工作经验
语言表达
甲
75
80
80
乙
85
70
80
丙
70
70
78
如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按 $\text{[math]}$ 的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是。

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15. 若 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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16. 图1是 $\text{[math]}$ 方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为 $\text{[math]}$ ，现将它剪拼成一个“房子”造型（如图 $\text{[math]}$ ，过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形 $\text{[math]}$ 作为题字区域（点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在圆上，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上），形成一幅装饰画，则圆的半径为．

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三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 计算： $\text{[math]}$ .

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18. (2023·福建) 先化简，再求值： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

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19. 如图，在 $\text{[math]}$ 的方格纸 $\text{[math]}$ 中，每个小方格的边长为1．已知格点 $\text{[math]}$ ，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．
1. （1）在图1中画一个等腰三角形 $\text{[math]}$ ，使底边长为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，再画出该三角形绕矩形 $\text{[math]}$ 的中心旋转 $\text{[math]}$ 后的图形；
2. （2）在图2中画一个 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形．
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20. 小明的父亲打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天，已知某公司现有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为300元、380元、500元．旅游的往返行程为 $\text{[math]}$ ，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示．
1. （1）小明已经对 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 型号汽车数据统计如表，请继续求出 $\text{[math]}$ 型号汽车的平均里程m、中位数n和众数p；
  型号
  平均里程 $\text{[math]}$
  中位数 $\text{[math]}$
  众数 $\text{[math]}$
  A
  m
  n
  p
  $\text{[math]}$
  216
  215
  220
  $\text{[math]}$
  227.5
  227.5
  225
2. （2）为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的用车型号建议．
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21. (2023·温州) 如图，已知矩形ABCD，点 $\text{[math]}$ 在CB延长线上，点 $\text{[math]}$ 在BC延长线上，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交ED的延长线于点 $\text{[math]}$ ，连结AF交EH于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ .
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求EF的长.
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22. (2023·温州) 一次足球训练中，小明从球门正前方8m的 $\text{[math]}$ 处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m.已知球门高OB为2.44m，现以 $\text{[math]}$ 为原点建立如图所示直角坐标系.
1. （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）。
2. （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点 $\text{[math]}$ 正上方2.25m处?
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23. 如图1， $\text{[math]}$ 为半圆 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 延长线上一点， $\text{[math]}$ 切半圆于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 延长线于点 $\text{[math]}$ ，交半圆于点 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．如图2，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的平行线分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的长和 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数表达式；
2. （2）当 $\text{[math]}$ ，且长度分别等于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的三条线段组成的三角形与 $\text{[math]}$ 相似时，求 $\text{[math]}$ 的值；
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24. 我们定义：点P在一次函数y＝ax+b上，点Q在反比例函数 $\text{[math]}$ 上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数y＝ax²+bx+c为一次函数y＝a+b和反比例函数 $\text{[math]}$ 的“幸福函数”，点P称为“幸福点”．例如：点P（﹣1，﹣2）在y＝x﹣1上，点Q（1，﹣2）在 $\text{[math]}$ 上，P、Q两点关于y轴对称，此时二次函数y＝x²﹣x﹣2为一次函数y＝x﹣1和反比例函数 $\text{[math]}$ 的“幸福函数”，点P（﹣1，﹣2）是“幸福点”．
1. （1）判断一次函数y＝x+2和反比例函数 $\text{[math]}$ 是否存在“幸福函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不是，请说明理由；
2. （2）若一次函数y＝x﹣k+1与反比例函数 $\text{[math]}$ 只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式；
3. （3）已知一次函数y＝ax+b与反比例函数 $\text{[math]}$ 有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“幸福函数”y＝ax²+bx+c与x轴交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件：①a+b+c＝0②“幸福函数”经过点（﹣3，4）③a＞b＞0，记四边形ACBD的面积为S ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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25. 在图1中有Rt $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上不与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合的一个定点． $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 是由线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到的， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的延长线相交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）试求 $\text{[math]}$ 的正切值；
3. （3）如图2，若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，求证： $\text{[math]}$ ．
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