一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意的.
-
1.
已知等比数列
不是单调数列,
是数列
的前
项和,且
,
, 则该等比数列的公比为( )
-
2.
已知随机变量
X的分布列如下:
则随机变量X的期望( )
-
3.
已知函数
在点
处的切线
在
轴上的截距等于
, 则
( )
A .
B . 0
C . 1
D . 2
-
4.
已知抛物线
,
O为坐标原点,
F为抛物线
C的焦点,
为抛物线
C上一点,且
, 若
为锐角三角形,则
( )
A .
B . 1
C . 8
D . 16
-
5.
根据人口普查数据,某市30万人的身高
X(cm)近似服从正态分布,即
, 已知该市恰好有
的人的身高在162cm以上(含162cm),身高在174cm以上(含174cm)的有6840人,则估计该市身高在180cm以上(含180cm)的人数为( )(参考数据:若
, 则:
,
,
.)
A . 390
B . 780
C . 1710
D . 3420
-
6.
某品牌的有芯卷筒卫生纸是将卫生纸绕在圆柱形的空心纸筒上,未使用时整卷卫生纸的直径为
, 其中中间空心纸筒的直径为
;若该品牌卫生纸每张的厚度是
, 且某人每次使用
长的卫生纸,则一整筒卫生纸他大约可以使用的次数为( )
A . 66
B . 132
C . 264
D . 314
-
7.
已知定义域为
的可导函数
, 导函数为
, 且
满足
, 则
( )
A . 1012
B . 2024
C . 3036
D . 4048
-
8.
已知斜率为
的直线
与双曲线
的右支交于
,
两点,且
, 若
A关于
y轴的对称点为
B , 设直线
的斜率为
, 且
, 则双曲线的离心率( )
二、多项选择题:本题共3个小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
-
-
-
11.
英国科学家牛顿在数学、物理、天文学方面作出了巨大的贡献.他曾用“切线法”求函数零点的近似值,方法是不断通过作函数
图象的切线,这些切线与
轴的交点的横坐标就是函数
一个零点的不同程度的近似值;现在给定函数
, 点
是曲线上的点,设
, 以点
为切点作曲线
的切线,切线与
轴的交点的横坐标为
;又以点
为切点作曲线
的切线,切线与
轴的交点的横坐标为
, ……,一直下去,得到数列
;又记
, 则下列说法正确的是( )
A .
B . 是等比数列
C . 是等比数列
D . 设数列的前项和为 , 则
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分
-
12.
据调查每年一月到八月奶茶的销售额与月份呈线性相关关系,某奶茶店当年的一月到五月份的月销售额
(万元)的情况如下:
若通过这5个月的数据计算得到变量的线性回归方程为 , 则.
-
13.
平面直角坐标系中,任意两点
,
, 定义
为“
A ,
B两点间的距离”,定义
为“
A ,
B两点间的曼哈顿距离”,已知
为坐标原点,
为平面直角坐标系中的动点,且
, 则
的最小值为
.
-
14.
已知函数
有两个极值点
,
, 则①实数
的范围是
;②
的范围是
.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
-
-
(1)
求证:数列
为等差数列,并求
的通项公式;
-
(2)
设
,
.
(i)写出数列的前4项;
(ii)求数列的前项和.
-
16.
某单位为了丰富群众文化生活,提高对本行业的认同度,在“五一国际劳动节”期间举行了“本行业知识有奖竞答活动”,活动规则如下:每位参加活动的职工都有两轮回答问题的机会.第一轮:参加活动的职工先抛掷一枚骰子1次,掷出1点或2点,则可回答1个低阶问题,回答正确获得奖金20元,回答错误获得奖金10元;掷出3点,4点,5点,6点,则可回答一个高阶问题,回答正确获得奖金40元,回答错误获得奖金20元.第二轮:若第一轮回答正确,则第二轮回答一个高阶问题,回答正确可获得资金60元,回答错误可获得奖金30元;若第一轮回答错误,则第二轮回答一个低阶问题,回答正确可获得资金30元,回答错误可获得奖金20元.职工甲参加活动,已知他每一轮回答高阶问题的正确率均为
, 回答低阶问题的正确率均为
;每轮奖金累积,求解下列问题:
-
(1)
求第一轮甲回答问题后获得20元奖金的概率;
-
(2)
求在第一轮中甲已获得奖金20元的条件下,甲两轮累计获得奖金不低于50元的概率.
-
17.
在平面直角坐标系中,
的三个顶点
的对边分别为
, 已知
成等差数列,且
,
.
-
(1)
求顶点
的轨迹
的方程;
-
(2)
设过点
的直线
与曲线
相交于
两点,求
面积的最大值(
为坐标原点).
-
18.
一口袋中装有10个小球,其中标有数字1,2,3,4,5的小球各两个,这些小球除数字外其余均相同.
-
(1)
某人从中一次性摸出4个球,设事件A“摸出的4个球中至少有一个数字是5”,事件B“摸出的4个球中恰有两个数字相同”;分别求事件A和事件B的概率;
-
(2)
现有一游戏,游戏规则是:游戏玩家每次有放回地从袋中随机摸出一球,若摸到5号球,则游戏结束;否则继续摸球,当摸到第
个球时,无论摸出的是几号球游戏都结束.设
表示摸球的次数
, 求随机变量
的期望.
-