吉林省白山市抚松县第一中学2023-2024学年高一下学期5...

更新时间：2024-07-31 浏览次数：9 类型：期中考试

一、单选题（每题5分，共40分）

1. (2024高一下·抚松期中) 已知水平放置的四边形 $\text{[math]}$ 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则原四边形 $\text{[math]}$ 的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高一下·抚松期中) 已知集合 $\text{[math]}$ ，则下列复数：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ，其中属于集合M的为（）．

A . ①②； B . ①③； C . ①④； D . ①③④．

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3. (2024高一下·抚松期中) 已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， O为坐标原点，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线，则 $\text{[math]}$ （）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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4. (2024高一下·抚松期中) 在锐角三角形ABC中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则边 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024高一下·抚松期中) 如图，已知点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的重心，过点 $\text{[math]}$ 作直线分别与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两边交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 9 B . 4 C . 3 D . $\text{[math]}$

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6. (2024高一下·抚松期中) 已知 $\text{[math]}$ 为坐标原点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 终边上一点，其中 $\text{[math]}$ ，非零向量 $\text{[math]}$ 的方向与 $\text{[math]}$ 轴正方向相同，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高一下·抚松期中) 设向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 时，则记作 $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 时，则记作 $\text{[math]}$ ，有下面四个结论：
①若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；
②若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；
③若 $\text{[math]}$ ，则对于任意向量 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ；
④若 $\text{[math]}$ ，则对于任意向量 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ；
其中所有正确结论的序号为（）

A . ①②③ B . ②③④ C . ①③ D . ①④

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8. (2024高一下·抚松期中) 直观想象是数学六大核心素养之一，某位教师为了培养学生的直观想象能力，在课堂上提出了这样一个问题：现有10个直径为4的小球，全部放进棱长为a的正四面体盒子中，则a的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题（每题6分，共18分）

9. (2024高一下·抚松期中) 如图所示，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 图象的最高点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 图象的最低点，设 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ C . 与 $\text{[math]}$ 垂直的单位向量的坐标是 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 也是 $\text{[math]}$ 图象上

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10. (2024高一下·启东期中) 下面四个命题中，正确的为（）

A . 相交于同一点的三条直线在同一平面内． B . $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 外，其三边延长线分别和 $\text{[math]}$ 交于P ， Q ， R ，则P ， Q ， R一定共线 C . 一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等 D . 在三维空间中，三个平面最多把空间分成八部分．

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11. (2024高一下·抚松期中) 圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥 $\text{[math]}$ 的内切球和外接球的球心重合，且圆锥 $\text{[math]}$ 的底面直径为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 设内切球的半径为 $\text{[math]}$ ，外接球的半径为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 设内切球的表面积 $\text{[math]}$ ，外接球的表面积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 设圆锥的体积为 $\text{[math]}$ ，内切球的体积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 设 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是圆锥底面圆上的两点，且 $\text{[math]}$ ，则平面 $\text{[math]}$ 截内切球所得截面的面积为 $\text{[math]}$

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三、填空题（每题5分，共15分）

12. (2024高一下·抚松期中) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量为

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13. (2024高一下·抚松期中) 在下列命题中，
①若直线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ //平面 $\text{[math]}$ ；
②若直线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平行于平面 $\text{[math]}$ 内的一条直线，则 $\text{[math]}$ //平面 $\text{[math]}$ ；
③直线 $\text{[math]}$ //平面 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 平行于平面 $\text{[math]}$ 内任何一条直线；
④若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是异面直线，则一定存在平面 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 平行．
其中正确命题的序号是

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14. (2024高一下·抚松期中) 已知 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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四、解答题（15题10分，16题10分，17题12分，18题13分，19题15分，20题17分）

15. (2024高一下·抚松期中) 已知平面上三个向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的坐标；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角.
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16. (2024高一下·抚松期中) 如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）求证：直线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若正方体棱长为1，过 $\text{[math]}$ 三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积.
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17. (2024高一下·抚松期中) 在海岸A处，发现北偏西75°的方向，与A距离2海里的B处有一艘走私船，在A处北偏东45°方向，与A距离（ $\text{[math]}$ ）海里的C处的缉私船奉命以10 $\text{[math]}$ 海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/小时的速度从B向北偏西30°方向逃窜，问：
1. （1）刚发现走私船时，缉私船距离走私船多远？在走私船的什么方向？
2. （2）缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
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18. (2024高一下·抚松期中) 下图是一块圆锥体工件，已知该工件的底面半径 $\text{[math]}$ ，母线 $\text{[math]}$ ，
1. （1） $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 的一条直径的两个端点，母线 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，用软尺沿着圆锥面测量 $\text{[math]}$ 两点的距离，求这个距离的最小值；
2. （2）现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，求这个正方体体积.
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19. (2024高一下·抚松期中) 在① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上．并加以解答．
在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且____， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 周长的范围
3. （3）若 $\text{[math]}$ 为锐角三角形，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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20. (2024高一下·抚松期中) 已知i是虚数单位，a ， $\text{[math]}$ ，设复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ 为纯虚数，求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在复平面上对应的点分别为A ， B ，且O为复平面的坐标原点.
  ①是否存在实数a ， b ，使向量 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 后与向量 $\text{[math]}$ 重合，如果存在，求实数a ， b的值；如果不存在，请说明理由；
  ②若O ， A ， B三点不共线，记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 及其最大值.
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