一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
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1.
已知抛物线
:
, 则其焦点到准线的距离为( )
A .
B .
C . 1
D . 4
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-
3.
有一组样本数据:2,3,3,3,4,4,5,5,6,6.则关于该组数据的下列数字特征中,数值最大的为( )
A . 第75百分位数
B . 平均数
C . 极差
D . 众数
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5.
若非零向量
,
满足
, 则
在
方向上的投影向量为( )
-
-
-
8.
设
, 已知
, 若
恒成立,则
的取值范围为( )
二、多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
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9.
若
, 则( )
-
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三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分。
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14.
若正四面体
的棱长为1,以三个侧面为底面向外作三个正四面体
,
,
, 则
外接圆的半径是
.
四、解答题:本大题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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15.
已知函数
的所有正零点构成递增数列
.
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(1)
求函数
的周期和最大值;
-
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16.
如图,在三棱锥
中,
是正三角形,平面
平面
,
, 点
是
的中点,
.
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(1)
求证:
为三棱锥
外接球的球心;
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(2)
求直线
与平面
所成角的正弦值;
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(3)
若
,
, 求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值最大时
的值.
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17.
已知双曲线
:
与直线
:
交于
、
两点(
在
左侧),过点
的两条关于
对称的直线
、
分别交双曲线
于
、
两点(
在右支,
在左支).
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(1)
设直线
的斜率为
, 直线
的斜率为
, 求
的值;
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(2)
若直线
与双曲线
在点
处的切线交于点
, 求
的面积.
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18.
如图是一个各棱长均为1米的正四棱锥
, 现有一只电子蛐蛐在棱上爬行,每次从一个顶点开始,等可能地沿棱爬到相邻顶点,已知电子蛐蛐初始从顶点
出发,再次回到顶点
时停止爬行。
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(1)
求电子蛐蛐爬行2米后恰好回到顶点
的概率;
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(2)
在电子蛐蛐停止爬行时爬行长度不超过4米的条件下,记爬行长度为
, 求
的分布列及其数学期望
;
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(3)
设电子蛐蛐爬行
米后恰好停止爬行(首次回到顶点
)的概率记为
, 求
(用
表示)。
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19.
若函数
在区间
上有定义,且
,
, 则称
是
的一个“封闭区间”.
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(1)
已知函数
, 区间
且
的一个“封闭区间”,求
的取值集合;
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