浙江省诸暨市2024届高三下学期三模数学试题

更新时间：2024-07-23 浏览次数：30 类型：高考模拟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. (2024·诸暨模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，则其焦点到准线的距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . 4

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2. (2024·诸暨模拟) 若关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 的解集为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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3. (2024高一下·山东期末) 有一组样本数据：2，3，3，3，4，4，5，5，6，6．则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（）

A . 第75百分位数 B . 平均数 C . 极差 D . 众数

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4. (2024·诸暨模拟) 在 $\text{[math]}$ 的展开式中，含 $\text{[math]}$ 项的系数是10，则 $\text{[math]}$ （）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 4

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5. (2024·诸暨模拟) 若非零向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向上的投影向量为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024·诸暨模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点，则下列说法错误的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则曲线 $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则曲线 $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ C . 若曲线 $\text{[math]}$ 上恰有两个不同的点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则曲线 $\text{[math]}$ 上存在四个不同的点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$

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7. (2024·诸暨模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 满足：对任意实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 成立，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 为奇函数 B . $\text{[math]}$ 为奇函数 C . $\text{[math]}$ 为偶函数 D . $\text{[math]}$ 为偶函数

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8. (2024·诸暨模拟) 设 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 恒成立，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9. (2024·诸暨模拟) 若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2024·诸暨模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 上的两个动点，点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 外接圆圆心的轨迹方程为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 重心的轨迹方程为 $\text{[math]}$

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11. (2024·诸暨模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 有两个零点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的值可以取 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的值可以取 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的值关于 $\text{[math]}$ 单调递减 D . $\text{[math]}$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。

12. (2024·诸暨模拟) 若复数 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，则复数 $\text{[math]}$ 的虚部为．

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13. (2024·诸暨模拟) 记 $\text{[math]}$ 为正项数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项积，已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ．

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14. (2024·诸暨模拟) 若正四面体 $\text{[math]}$ 的棱长为1，以三个侧面为底面向外作三个正四面体 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 外接圆的半径是．

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四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. (2024·诸暨模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 的所有正零点构成递增数列 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的周期和最大值；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式 $\text{[math]}$ 及前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．
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16. (2024·诸暨模拟) 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是正三角形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 为三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的球心；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值最大时 $\text{[math]}$ 的值．
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17. (2024·诸暨模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点（ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 左侧），过点 $\text{[math]}$ 的两条关于 $\text{[math]}$ 对称的直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别交双曲线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点（ $\text{[math]}$ 在右支， $\text{[math]}$ 在左支）．
1. （1）设直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线交于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．
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18. (2024·诸暨模拟) 如图是一个各棱长均为1米的正四棱锥 $\text{[math]}$ ，现有一只电子蛐蛐在棱上爬行，每次从一个顶点开始，等可能地沿棱爬到相邻顶点，已知电子蛐蛐初始从顶点 $\text{[math]}$ 出发，再次回到顶点 $\text{[math]}$ 时停止爬行。
1. （1）求电子蛐蛐爬行2米后恰好回到顶点 $\text{[math]}$ 的概率；
2. （2）在电子蛐蛐停止爬行时爬行长度不超过4米的条件下，记爬行长度为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列及其数学期望 $\text{[math]}$ ；
3. （3）设电子蛐蛐爬行 $\text{[math]}$ 米后恰好停止爬行（首次回到顶点 $\text{[math]}$ ）的概率记为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ （用 $\text{[math]}$ 表示）。
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19. (2024·诸暨模拟) 若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上有定义，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一个“封闭区间”．
1. （1）已知函数 $\text{[math]}$ ，区间 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 的一个“封闭区间”，求 $\text{[math]}$ 的取值集合；
2. （2）已知函数 $\text{[math]}$ ，设集合 $\text{[math]}$ ．
  （i）求集合 $\text{[math]}$ 中元素的个数；
  （ii）用 $\text{[math]}$ 表示区间 $\text{[math]}$ 的长度，设 $\text{[math]}$ 为集合 $\text{[math]}$ 中的最大元素．
  证明：存在唯一长度为 $\text{[math]}$ 的闭区间 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一个“封闭区间”．
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