数学家一开始考虑在特定应用条件下来定义数学对象和公理（数学的第一阶段——发明）。然而，随着时间推移，数学发展到了第二个阶段——发现。例如，素数是乘法的基石，是最小的乘法单位。如果一个数不能被写为两个较小数的乘积，则此数是素数。所有非素数（合数）都可以通过一组唯一的素数相乘得到。
1742年，德国数学家克里斯蒂安·哥德巴赫假设每个大于2的偶数都是两个素数之和，如果你选择任意一个大于2的偶数，那么哥德巴赫猜想指出，你都可以找到两个素数相加得到这个偶数。如果你选择8，这两个素数是3和5；如果你选择42，这两个素数是13和29。哥德巴赫猜想之所以令人惊讶，是因为尽管素数起初被设计成相乘，但这个猜想表明，素数之和与偶数之间存在令人难以置信的关系。
大量证据表明，哥德巴赫猜想是成立的。在此后的300年中，计算机数值计算证实，这个猜想对小于（4×10）18的所有偶数都是正确的。但是，这一证据不足以让数学家们宣称哥德巴赫猜想是正确的，因为偶数有无穷多个，无论计算机检查了多少个偶数，总可能存在一个反例潜伏在角落里——一个不是两个素数之和的偶数。
想象一下，计算机每次找到两个素数之和为特定偶数的时候，就会把这个偶数记录下来。到目前为止，这是一个非常长的数字列表，你可以把它作为一个令人信服的理由，让大家相信哥德巴赫猜想是对的。但是，总有人能够想到一个不在列表中的偶数，并询问你如何知道哥德巴赫猜想对于那个数字也依然成立。不是所有（无限多个）偶数都会出现在列表中，因此，只有从基本原理出发，通过逻辑论证证明哥德巴赫猜想对于任何偶数都成立，才足以将这一猜想提升为一个定理。然而，直到今天，还没有人能够提供这样的证明。
哥德巴赫猜想说明了数学发现阶段和证明阶段之间的重要区别。在发现阶段，人们寻求数学事实与数学现象，而数学本质则需要坚实的证明。
数学家需要整理数学发现并决定要证明什么，但这些发现也可能具有欺骗性。例如，让我们构建一系列数字：121、1211、12111、121111、1211111等，并做如下猜想：数列中的所有数字都不是素数。为这个猜想提供证据是很容易的，可以看到121不是素数，因为121=11×11。同样，1211、12111和121111都不是素数。这种模式可以持续一段时间，但随后它突然就出错了。这个序列中的第136个数（即数字12111……111，其中有136个“1”跟在“2”后面）是素数。
数学发现阶段仍然是极其重要的，比如它可以揭示哥德巴赫猜想给出的素数之间的隐藏联系。在发现这种深刻联系之前，数学家通常会对两个完全不同的数学分支进行研究。一个相对简单的例子是欧拉恒等式，eiπ+1=0，它通过数字e（自然对数的基数）将几何常数π与数字i（代数上定义为-1的平方根）联系起来。类似的惊人发现是数学美感和好奇心的一部分它们似乎指向一个更深层次的基础结构，而数学家才刚刚开始理解这些结构。
在这个意义上说，数学既能被发明又能被发现出研究对象是被精确定义的，但它们具有自己的生命，会揭示意想不到的复杂性。因此，数学对象可以被视为既是实际存在的同时又是被人为创造的。正如某哲学家所写的那样，“二元性对于数学家的工作方式没有任何影响”。
数学现实主义似乎是发现阶段的哲学立场：数学研究的对象，例如从圆和素数再到矩阵和流形，是真实并且独立于人类思想而存在的。就如同探索遥远星球的天文学家或研究恐龙的古生物学家，数学家是在收集对真实实体的洞见。例如，证明哥德巴赫猜想成立，即为证明偶数和素数之间通过加法相联系的特定性质，就像古生物学家可能会通过两个物种解剖结构之间的相关性，来表明一种恐龙起源于另一种恐龙。
现实主义的各种表现形式。如柏拉图主义，使人很容易理解数学的普遍性和实用性。每一个数学对象都具有一个性质。比如7，它是一个素数，如同恐龙具有飞行的属性。一个数学定理，如两个偶数之和为偶数——这是正确的。因为偶数确实存在，并且彼此之间存在特定的关系。这就解释了为什么跨越时间、地理和文化差异的人们普遍认同这些数学事实。
但有些人对现实主义持有反对意见。他们认为，如果数学对象真实存在，那么它们的性质肯定是非常独特的，首先，数学对象非常抽象，所以你不能真正地与它们互动。这是一个问题，因为恐龙能分解成可以看到和触摸的骨骼，行星也可以从恒星前面经过，被天文学家观测到，但数学上的圆是抽象的物体，不受空间和时间的限制。事实上，π是圆周与圆直径的比值，并不与苏打水或甜甜圈有关；它指向的是数学上抽象的圆，圆上的点无穷小，且到中心点的距离精确。这样完美的圆在现实生活中无法达到。那么，如果没有某种特殊的第六感，我们如何才能了解有关圆的事实呢？
这就是现实主义的困难之处——它无法解释我们如何知道抽象的数学对象的本质。所有这些都可能导致数学家从现实主义立场上退缩。反现实主义把数学框定为一种纯粹形式的思维练习或一部完整的小说，很容易就能避开认识论的问题。
形式主义是一种反现实主义的形式，也是一种哲学观点。它主张数学就像一场游戏，数学家们只是在玩游戏规则——说7是素数，就好像在说骑士是唯一能以L形式运动的国际象棋棋子。另一种哲学观点是虚构主义，认为数学对象是虚构的——说7是素数，就像是在说独角兽是白色的。数学在其虚构的宇宙中存在意义，但在它之外却没有真正的含义。
但是，如果数学只是被编造出来的，那么它怎么可能成为科学中必不可少的一部分呢？从量子力学到生态学模型，数学是一个广泛而精确的科学工具。科学家并不指望基本粒子按照国际象棋的规则移动。自然科学描述的重担完全落在数学身上、这与游戏或虚构是截然不同的。
最后，这些问题并不影响数学的实际应用。数学家可以自由地选择对自己职业的解释。在《数学经验》一书中，菲利普·戴维斯和鲁本·赫什有一句名言：“典型的职业数学家平日里是柏拉图主义者，在周末则是形式主义者。”
（摘编自凯尔西·休斯敦·爱德华兹《数学是真实的吗》，付国杨龚华杰翻译）
斜阳外
聂鑫森
《百家姓》里有这个姓：“钭”，但在生活中却很少碰到姓“钭”的人。而在湘楚市远郊外的盘龙镇卧龙村，有一位退休的乡村教师叫钭阳外。
他曾在一所乡村中学教语文，为人谦和，说话还风趣，又腹笥丰盈，深受学生爱戴、同事崇敬。为新生上第一课，他的开场白必是：“我叫钭阳外，‘钭’与量具的‘斗’谐音，两字形状有点相似，千万别念成斜阳外！”其实，父母给他起的姓名是钭阳生，他后来改为钭阳外，就因为“钭”乍一见像“斜”，而古诗词里关于“斜阳外”之类的句子很多，如“斜阳外，流水绕芳村”，就很美。同事们就干脆叫他斜阳外，还说这可以作他的号，古人有这个例证。
钭阳外退休五年了。
钭家小院很安静。出出进进就两个人：斜阳外和他的妻子张定珠。一儿一女大学毕业后，工作、安家于湘楚市，又有了自己的儿女，都成了城里人。老两口很闲，水田、山地流转入股了村办合作社，年终可以大大方方分红，他们也没有去什么专业组上班领工资，除了侍弄自家的菜园子就没别的事了。
张定珠觉得一身的力气可惜了。钭阳外说：“我有退休金，儿女们也不缺钱，再说各个专业组都基本满意了，你还去和乡邻们争食？我们可以栽花种草，轻轻松松过日子呀。”
“就是太冷清了。唉！”
“儿孙们不是隔一段日子就开车来了？好饭好菜地款待他们，然后他们把我们准备好的蔬菜、水果带回去，这多开心！”
“他们一人一部手机，眼珠子都掉进屏幕里了，连跟我们说话的时间都要节约，这是得的什么病？”
“无手机恐惧症！”
“他们有手机呀。”
“西班牙的一位学者费尔兰德斯·安杜哈尔说，无手机恐惧症是指一个人因没有手机而担心与社会、他人或工作、生活断开联系的非理性恐惧心理，于是，拿着手机没完没了地看。据这位洋人用大数据推算，人们平均每天使用手机查询信息五十次到一百次，有的晚上睡觉也不关手机，早上醒来的头等大事就是看手机。”
“唉——”张定珠长长地叹了一口气。
因卧龙村的各家小院，散立在风光秀丽的卧龙岗各处，村委会又号召兴办乡村假日休闲的旅游项目，让各家的院子变成旅馆、饭店。村委会建起网站，介绍卧龙岗的风景、物产及各个农家院的情况，游客可在网上预订食宿和购物。
张定珠说：“老钭，这个活计，我们不能放过。”
“行。院名为‘斜阳院’，广告词是‘斜阳外，流水绕芳村’。我家门前，不是有一条渠水吗？”
“要得！”
“来我家食宿的客人，先与我在网上交谈。我有条件，不是人人都可以来的。”
“明码标价，不赊账，不跑单？”
“俗！来此不仅是食宿，是息心养气。先交手机代为保管，临走时再归还。”
“儿孙们来呢？”
“也是这个条件，否则——可以不来！”
……
仲秋的钭家小院真的很漂亮。院门上方嵌着一块横额，没有上漆，用毛笔写了三个隶字“斜阳院”，是钭阳外的手迹。院子里左右各有一株粗壮的桂树，各自开着朱砂色和金黄色的花，香气很浓郁。墙角的一个水池里，浮着几片睡莲叶，立着几朵粉红色的花。斜靠着围墙的是一排竹篱架，一篷一篷的三齿绿叶间，拥拥挤挤开着猩红、湛蓝的牵牛花。院子后端的主屋是一栋两层的砖木楼房，中有堂屋、卧室、书房、厨房、杂物间之属。堂屋两边各有一座厢房，内有卧室、卫生间，是供客人住的。其实主屋楼上还有房间，可做客人的卧室。钭阳外对妻子说：“一次只接待两个或两家客人，多了就不安静了。”
夕阳西斜时，钭家小院来的第一个客人是夏芒，一个三十岁还没成家的年轻人，人长得很帅，是一家私营日用瓷厂的厂长，预订在这里住五天。
夏芒期期艾艾地交出手机，很不舍的样子。
“小夏，我把你的手机关了，收存好，放心吧。你的小车停在村口的停车坪，绝对安全。有什么大事，你的办公室主任会打我的手机。”
“你的手机号是我告诉他的。这段日子，手机总追着我响，烦死了。仓库里的存货，但愿部下能很快找到买主。欠供应原材料的单位的钱，暂时还不了了。申请低利息贷款，还在走程序，唉。”
“小夏，你先去洗个澡，过会儿就晚餐了。白天你可以去看风景，可以到堂屋里喝茶聊天，或者在卧室里看书。书架上摆的是我的一些藏书。”
夏芒忽然发现主屋塘下的横木上拴着一根尺把长的绳子，绳子尾端系着一块小木板，在细微的风里不停地转动。他问：“钭老师，这是做什么用的？”
“这是一句佛家的话：‘绳未断，自打转’。”
夏芒茫然地望着斜阳外，不知是什么意思。
一眨眼就过去了三天。
夏芒觉得每个白天、每个夜晚都过得很长很慢。他想问钭老师，厂办主任是否有消息发到钭阳外的手机上，但又强忍着把话咽进肚里。
夏芒发现天刚破晓，钭老师就静静地坐在牵牛花篱架前了。他也悄悄地站在旁边，看一个一个的细管状的花苞，迎着曙光缓缓地绽开。钭阳外忽然说：“你静下心听，花开是有声音的。”夏芒听了又听，没有听到任何声音。
夜晚的月光下，他们坐在水池边聊天，看池中的几尾小鲫鱼，戏耍落在水面的桂花瓣。夏芒问：“它们在嚼桂花吗？”钭阳外怡然一笑，说：“水清鱼嚼月，五脏六腑都通明透亮了。”夏芒弯下腰去细看，又马上下意识地去摸口袋，生怕手机滑溜出来掉进水里。钭阳外说：“你心里还有一台手机，忘不了啊。”
第四天的早餐后，夏芒鼓足勇气对两位老人说：“我得回去了，厂里事多哩。每天的食宿费是三十元，我按五天缴满。谢谢你们。”
钭阳外哈哈一笑，说：“你已经很有耐心了，你陪了我三天，又没用手机，这次就免单。我相信你还会来的。手机完璧归赵，开车回去别性急，祝一路平安。”
夏芒的脸蓦地红了。
六天后，钭阳外的手机响了，是夏芒打来的。
“钭老师，厂里的贷款到账了。欠的债还了，原料也马上来了。仓库的积货因工商联牵线，都卖空了。其实，我住完五天回厂，也同样是这结果，与手机有什么关系？你屋檐下绳系的小木板，现在我明白它的意思了！过几天是双休日，我再来斜阳院！”
“欢迎！欢迎！”
（有删改）
材料一：
凡兵，贵其因也。因也者，因敌之险以为己固，因敌之谋以为己事。能审因而加 ， 胜则不可穷矣。胜不可穷之谓神，神则能不可胜也。夫兵，贵不可胜。不可胜在己，可胜在彼。圣人必在己者，不必在彼者，故执不可胜之术以遇不胜之敌。若此，则兵无失矣。凡兵之胜，敌之失也。胜失之兵，必隐必微，必积必抟①。隐则胜阐矣，微则胜显矣，积则胜散矣，抟则胜离矣。诸搏攫柢噬之兽其用齿角爪牙也必托于卑微隐蔽此所以成胜。
（节选自《吕氏春秋·决胜》）
材料二：
武王问太公曰：“战车奈何？”
太公曰：“步贵知变动，车贵知地形，骑贵知别径奇道，三军同名而异用也。凡车之死地有十，其胜地有八。”
武王曰：“十死之地奈何？”
太公曰：“往而无以还者，车之死地也；越绝险阻，乘敌远行者，车之竭地也；前易后险者，车之困地也；陷之险阻而难出者，车之绝地也；圮下渐泽、黑上黏埴者、车之劳地也；左险右易，上陵仰阪者，车之逆地也；殷草横亩，犯历深泽者，车之拂地也；车少地易，与步不敌者，车之败地也；后有沟渎，左有深水，右有峻坂者，车之坏地也；日夜霖雨，旬日不止，道路溃陷．前不能进，后不能解者，车之陷地也。此十者，车之死地也。故拙将之所以见擒，明将之所以能避也。”
武王曰：“八胜之地奈何？”
太公曰：“敌之前后行阵未定，即陷之；旌旗扰乱，人马数动，即陷之；士卒或前或后，或左或右，即陷之；阵不坚固，士卒前后相顾，即陷之；前往而疑，后恐而怯，即陷之；三军卒惊，皆薄而起，即陷之；战于易地，暮不能解，即陷之；远行而暮舍，三军恐惧，即陷之。此八者，车之胜地也。将明于十害八胜，敌虽围周，千乘万骑，前驱旁驰，万战必胜。”
武王曰：“善哉！”
（节选自《六韬·犬韬·战车》）
【注】①抟：古“专”字，专一、集中。
诸搏攫A柢噬B之兽C其用齿角D爪牙也E必托F于卑微隐蔽G此所以H成胜。
①圣人必在己者，不必在彼者，故执不可胜之术以遇不胜之敌。
②故拙将之所以见擒，明将之所以能避也。
寿楼春·寻春服感念①
史达祖
裁春衫寻芳。记金刀②素手，同在晴窗。几度因风残絮，照花斜阳。谁念我，今无裳？自少年、消磨疏狂。但听雨挑灯，攲床病酒，多梦睡时妆。
飞花去，良宵长。有丝阑③旧曲、金谱新腔。最恨湘云人散，楚兰魂伤。身是客，愁为乡。算玉箫、犹逢韦郎。近寒食人家，相思未忘蘋藻香④。
【注】①这首词为史达祖悼念其亡妻所作，可能作于其任中书省堂吏、受韩侂胄重用期间。②金刀：刀之美称。③丝阑：即乌丝阑，与下句“金谱”，均为乐谱。④蘋藻香：古时贵族少女出嫁前，要到宗庙受教为妇之道，教成之日就在宗庙里主持祭祖之礼，祭时陈设之物中有采来的蘋藻。后来蘋藻香引中指新婚的温馨日子。
樊发稼在《发展原创是繁荣儿童文学之根本》一文里，批评一些评论者过度“崇洋媚外”“言必称希腊”，一提起本国儿童文学，便一副A____的模样。①他呼吁要摆正“引进”和“原创”的关系，指出“只有原创才是繁荣儿童文学之根本”，而“原创儿童文学的主流，永远是对孩子具有启智、染情和建德功能的佳作甚或艺术精品”，建构、建立一个和谐的儿童文学原创生态环境势在必行。②这些论断的前瞻性和深刻之处，放在40年后的今天依然B____。
除了力挺原创儿童文学，樊发稼对“幼儿文学”的相关论断，也十分有创见。他尤为重视低幼文学的教育价值。③在相当长一段时期内，低幼文学不为人重视，不论创作者的数量还是作品的获奖率，都远不及其他门类的儿童文学作品。早在20世纪80年代初，樊发稼就呼吁大力发展低幼文学。④在他看来，低幼文学绝非C____，而是有着莫大的意义和价值。创作优秀的低幼文学作品，对国家、民族、未来都是一件极大的善事，事关塑造未来的民族性格。此外，他还对如何创作低幼文学给出许多建议，比如“语言要浅显”“动作性要强”“要讲究音响和音乐性”“进一步拓宽题材和形式”等。
在颐和园游逛，走过知春桥时，细心的朋友会发现，在桥身和桥墩中，镶嵌有两头宽、中间束腰、形似蝴蝶结的生铁块，它究竟是什么呢？
它就是腰铁，①____，所以又被称为元宝铁。“元宝铁”主要用于石料的联接。据考证，腰铁最早出现在大名鼎鼎的隋朝赵州桥上，它个头小，像蝴蝶结一样装饰在桥身上。赵州桥能够屹立千年不倒，②____。
古人修桥时，先在相邻的两块石头上分别挖出一个槽，将两槽挨在一起拼成两头宽、中间窄的长条“腰”形槽，再把烧热的铁嵌进去。这样，冷却定型的铁就成了“腰铁”。腰铁被镶嵌在相邻的两块拱石中，③____。铁冷却的时候会收缩，这两块石头就连接得更紧密了。这样两两相连，从而构成了一座完整的拱形桥。如果拱桥损坏，只需要修整破损的局部拱石，而不必对整座桥进行调整。
人类一直渴望拥有时光机、让我们能在过去、现在和未来来回穿梭，过自己想要的人生。但同时也有人说，能够跨越时空的能力只会助长人的欲望、消磨人的意志，有百害而无一利。尽管当代科学技术并不能真正制造出时光机，但假如科技发展真的到了这样的水平，我们该做何选择？
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