广东省部分学校2023-2024学年高一下学期期末联考数学试...

更新时间：2024-07-29 浏览次数：12 类型：期末考试

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. (2024高一下·广东期末) 已知复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高一下·广东期末) 已知圆锥的表面积为 $\text{[math]}$ ，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024高一下·广东期末) 已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点.则两条平行线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 间的距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024高一下·广东期末) 端午节吃粽子是我国的一个民俗，记事件 $\text{[math]}$ “甲端午节吃甜粽子”，记事件 $\text{[math]}$ “乙端午节吃咸粽子”，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，事件A与事件B相互独立，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024高一下·广东期末) 市博物馆里，有一条深埋600多年的元代沉船，对于研究元代的发展提供了不可多得的实物资料.沉船出土了丰富的元代瓷器，其中的白地褐彩龙风纹罐（如图）的高约为 $\text{[math]}$ ，把该瓷器看作两个相同的圆台拼接而成（如图），圆台的上底直径约为 $\text{[math]}$ ，下底直径约为 $\text{[math]}$ ，忽略其壁厚，则该瓷器的容积约为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024高一下·广东期末) 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， O为坐标原点，定义余弦相似度为 $\text{[math]}$ ，余弦距离为 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若P ， Q的余弦距离为 $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高一下·广东期末) 在棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， E是线段 $\text{[math]}$ （含端点）上的一动点，
① $\text{[math]}$ ；
② $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
③三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为定值；
④ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的最大角为 $\text{[math]}$ .
上述命题中正确的个数是（）

A . 4 B . 3 C . 2 D . 1

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8. (2024高一下·广东期末) 已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 的中点，空间中的动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则动点 $\text{[math]}$ 的轨迹长度为（）

A . $\text{[math]}$ B . 3 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. (2024高一下·广东期末) 下列有关复数的说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为 $\text{[math]}$

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10. (2024高一下·广东期末) 已知点 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . 与向量 $\text{[math]}$ 垂直的向量坐标可以是 $\text{[math]}$ B . 与向量 $\text{[math]}$ 平行的向量坐标可以是 $\text{[math]}$ C . 向量 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向上的投影向量坐标为 $\text{[math]}$ D . 对 $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ 所成角均为锐角

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11. (2024高一下·广东期末) 在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 的中点，则下列结论错误的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值是 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，则平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值的取值范围为 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12. (2024高一下·广东期末) 降雨量是指降落在水平地面上单位面积的水层深度（单位： $\text{[math]}$ ）.气象学中，把24小时内的降雨量叫作日降雨量，等级划分如下表：
日降雨量 $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
等级
小雨
中雨
大雨
暴雨
某数学建模小组为了测量当地某日的降雨量，制作了一个圆台形水桶，如图所示，若该圆台的上､下底面积之比为 $\text{[math]}$ ，母线长为 $\text{[math]}$ ，且侧面积等于上､下底面积之和，若在某日的一次降雨过程中用此桶接了24小时的雨水，水深恰好是桶深的 $\text{[math]}$ ，则当日的降雨量等级为.

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13. (2024高一下·广东期末) 2023年中国成功举办了第31届世界大学生夏季运动会和第19届亚运会，某市积极响应全民锻炼的号召，组织村级足球联赛，其中 $\text{[math]}$ 组有甲、乙、丙、丁4支足球队，每支球队都要跟组内其他球队进行一场比赛，最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为 $\text{[math]}$ ，比赛结束时，在甲队输给乙队的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为.

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14. (2024高一下·广东期末) 在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ 是边长为4的等边三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球的表面积为.

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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15. (2024高一下·广东期末) 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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16. (2024高一下·广东期末) 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$
1. （1）求角 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值.
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17. (2024高一下·广东期末) 省数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组： $\text{[math]}$ ，并绘制成如图所示的频率分布直方图.
1. （1）若只有 $\text{[math]}$ 的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）；
2. （2）采用分层随机抽样的方法从成绩为 $\text{[math]}$ 的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率；
3. （3）进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动.考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有 $\text{[math]}$ 五个等级. 若两科笔试成绩均为 $\text{[math]}$ ，则直接参加；若一科笔试成绩为 $\text{[math]}$ ，另一科笔试成绩不低于 $\text{[math]}$ ，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加.现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响.甲在每科笔试中取得 $\text{[math]}$ 的概率分别为 $\text{[math]}$ ；乙在每科笔试中取得 $\text{[math]}$ 的概率分别 $\text{[math]}$ ；甲、乙在面试中通过的概率分别为 $\text{[math]}$ .求甲、乙能同时参加冬令营的概率.
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18. (2024高一下·广东期末) 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ .已知 $\text{[math]}$
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 的形状；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值.
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19. (2024高一下·广东期末) 如图，在四棱台 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为菱形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，侧棱 $\text{[math]}$ 与底面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ．若球 $\text{[math]}$ 与三棱台 $\text{[math]}$ 内切（即球与棱台各面均相切）．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正切值；
3. （3）求四棱台 $\text{[math]}$ 的体积和球 $\text{[math]}$ 的表面积．
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