一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
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1.
若复数
是纯虚数,则实数a的值为( )
A . 0
B . 1
C . -1
D .
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2.
下列特征数中,刻画一组数据离散程度的是( )
A . 平均数
B . 中位数
C . 众数
D . 方差
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3.
已知圆锥的底面半径和高均为1,则该圆锥的侧面积为( )
-
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5.
一个水果盘子里有2个苹果和3个桃子,从盘中任选2个,则选中的水果品种相同的概率为( )
-
6.
若
, 则
( )
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7.
某数学兴趣小组测量学校旗杆的高度,在旗杆底部O的正东方向A处,测得旗杆顶端P的仰角为
, 在A的南偏西
方向上的B处,测得P的仰角为
(O,A,B在同一水平面内),A,B两点间的距离为20m,则旗杆的高度OP约为(
,
)( )
A . 10m
B . 14m
C . 17m
D . 20m
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8.
在锐角三角形ABC中,
, 则
的取值范围为( )
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
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11.
一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个白色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件
“两个球颜色不同”,
“两个球标号的和为奇数”,
“两个球标号都不小于2”,则( )
A . A与B互斥
B . A与C相互独立
C .
D .
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
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12.
样本数据7,8,10,11,12,13,15,17的第40百分位数为.
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13.
已知向量
,
满足
, 向量
在
上的投影向量为
, 则
.
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14.
以棱长为2的正方体的六个面为底面,分别向外作形状相同的正四棱锥,得到一个多面体,已知正四棱锥的侧面与底面所成的角为
. 该多面体的体积为
,其面数为
.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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15.
记
的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,
.
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(2)
若
, 求
.
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16.
如图,在四棱锥
中,底面
是菱形,
平面
,
分别是棱
的中点.
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(1)
证明:
;
-
(2)
证明:
平面
.
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17.
某班学生日睡眠时间(单位:h)的频率分布表如下:
分组 | [7,7.5) | [7.5,8) | [8,8.5) | [8.5,9] |
频数 | 4 | x | 20 | y |
频率 | a | b | 0.4 | 0.12 |
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(1)
计算该班学生的平均日睡眠时间(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
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(2)
用比例分配的分层随机抽样方法,从该班日睡眠时间在
和
的学生中抽取5人.再从抽取的5人中随机抽取2人,求2人中至少有1人的日睡眠时间在[7,7.5)的概率.
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18.
已知
的面积为9,点D在BC边上,
.
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-
(2)
若
, 求AD的最小值.
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19.
如图,等腰梯形ABCD为圆台
的轴截面,E,F分别为上下底面圆周上的点,且B,E,D,F四点共面.
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(1)
证明:
;
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(2)
已知
,
, 四棱锥C-BEDF的体积为3.
①求三棱锥B-ADE的体积;
②当母线与下底面所成的角最小时,求二面角C-BF-D的正弦值.