浙江省杭州市重点中学2023-2024学年高一（下）月考数学...

更新时间：2024-08-21 浏览次数：4 类型：月考试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. (2024高一下·杭州月考) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高一下·杭州月考) 复平面内表示复数 $\text{[math]}$ 的点位于( )

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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3. (2024高一下·杭州月考) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则角 $\text{[math]}$ 的大小为( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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4. (2024高一下·杭州月考) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是两条不同的直线， $\text{[math]}$ 是一个平面，则下列命题正确的是( )

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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5. (2024高一下·杭州月考) 已知平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若存在实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的值为( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024高一下·杭州月考) 达·芬奇的经典之作 $\text{[math]}$ 蒙娜丽莎 $\text{[math]}$ 举世闻名．画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 间的圆弧长为 $\text{[math]}$ ，嘴角间的距离为 $\text{[math]}$ ，圆弧所对的圆心角为 $\text{[math]}$ 为弧度角 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 所满足的恒等关系为( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高一下·杭州月考) 如图，已知正四棱锥 $\text{[math]}$ 的所有棱长均为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高一下·杭州月考) 已知点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 外接圆的圆心，内角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，内角 $\text{[math]}$ 取最大值时 $\text{[math]}$ 的面积为( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. (2024高一下·杭州月考) 已知向量 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是( )

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为钝角”的充要条件 D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量的坐标为 $\text{[math]}$

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10. (2024高一下·杭州月考) 如图是函数 $\text{[math]}$ 的部分图像，则( )

A . $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的一条对称轴 C . 将函数 $\text{[math]}$ 的图像向右平移 $\text{[math]}$ 个单位后，得到的函数为奇函数 D . 若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有且仅有两个零点，则 $\text{[math]}$

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11. (2024高一下·杭州月考) 如图，正方体 $\text{[math]}$ 棱长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的一个动点，下列结论中正确的是( )

A . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上运动时，都有 $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上运动时，三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积不变 D . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. (2024高一下·杭州月考) 已知 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的奇函数，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为.

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13. (2024高一下·杭州月考) 在一个如图所示的直角梯形 $\text{[math]}$ 内挖去一个扇形， $\text{[math]}$ 恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线 $\text{[math]}$ 旋转一圈，则所得几何体的体积为．

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14. (2024高一下·杭州月考) 平面向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，对任意的实数 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. (2024高一下·杭州月考) 已知复数 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 是虚数单位， $\text{[math]}$ ）.
1. （1）若复数 $\text{[math]}$ 是纯虚数，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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16. (2024高一下·杭州月考) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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17. (2024高一下·杭州月考) 在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，已知 ▲ $\text{[math]}$ 只需填序号 $\text{[math]}$ ．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
1. （1）求角 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 是锐角三角形，边长 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的取值范围．
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18. (2024高一下·杭州月考) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
3. （3）若二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
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19. (2024高一下·杭州月考) 已知函数 $\text{[math]}$
1. （1）若不等式 $\text{[math]}$ 的解集为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）解关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ ；
3. （3）若不等式 $\text{[math]}$ 对一切 $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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