【培优版】北师大版数学九上2.4用因式分解法解一元二次方程 ...

更新时间：2024-07-17 浏览次数：11 类型：同步测试

一、选择题

1. (2024八下·瑶海期中) 已知三角形的两边长为2和5，第三边满足方程 $\text{[math]}$ ，则三角形的周长为（）

A . 10 B . 11 C . 10或11 D . 以上都不对

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2. (2024·正定模拟) 一元二次方程 $\text{[math]}$ 的解是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . 无实数解

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3. (2024九下·雅安模拟) 已知直角三角形的两条边长分别是方程x²﹣9x+20＝0的两个根，则此三角形的第三边是（）

A . 4或5 B . 3 C . $\text{[math]}$ D . 3或 $\text{[math]}$

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4. (2023九上·怀仁期中) 若三角形三边的长均能使代数式 $\text{[math]}$ 的值为零，则此三角形的周长是（）

A . 9或18 B . 12或15 C . 9或15或18 D . 9或12或15

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5. (2023九上·织金期中) 关于x的方程 $\text{[math]}$ 有两个相等的实数根，则m的值是（）

A . 0 B . 8 C . $\text{[math]}$ D . 0或8

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6. (2023九上·龙马潭月考) 已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x²-5x+6=0的一个根，则这个三角形的周长是（）

A . 11 B . 12 C . 11或12 D . 15

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7. (2023九上·丘北期中) 若a、b是菱形ABCD的两条对角线的长，且a、b是一元二次方程x²-14x+48＝0的两个根，则菱形ABCD的边长为（）

A . 4 B . 5 C . $\text{[math]}$ D . 10

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8. (2023九上·衡阳月考) 已知点 $\text{[math]}$ 在第一象限角平分线上，则m的值为（）

A . 6 B . $\text{[math]}$ C . 2或3 D . $\text{[math]}$ 或6

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二、填空题

9. (2023九上·武侯月考) 已知关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ ．若等腰三角形 $\text{[math]}$ 的一边长 $\text{[math]}$ ，另两边长 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长 $\text{[math]}$ ．

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10. (2024九上·武侯开学考) 一个三角形的两边长分别为2和3，第三边的长是方程 $\text{[math]}$ 的根，则该三角形的第三边的长为．

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11. (2024八下·平泉期中) 对于实数 $\text{[math]}$ ，我们用符号 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 两数中较小的数，如 $\text{[math]}$ .因此， $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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12. (2022九上·连云月考) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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13. (2022九上·连云月考) 若关于x一元二次方程 $\text{[math]}$ 的常数项为0，则m的值等于．

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三、解答题

14. (2023九上·晋江开学考) 如果一元二次方程的两根相差 $\text{[math]}$ ，那么该方程称为“差 $\text{[math]}$ 方程” $\text{[math]}$ 例如 $\text{[math]}$ 是“差 $\text{[math]}$ 方程”．
1. （1）判断下列方程是不是“差 $\text{[math]}$ 方程”，”并说明由：
  ① $\text{[math]}$ ；
  ② $\text{[math]}$ ；
2. （2）已知关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 是常数 $\text{[math]}$ 是“差 $\text{[math]}$ 方程”，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）若关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 是常数， $\text{[math]}$ 是“差 $\text{[math]}$ 方程”，设 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．
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15. (2022九上·道县期中) 阅读下面的材料，并完成相应的任务．
材料：解含绝对值的方程： $\text{[math]}$ ．

解：分两种情况：

（ 1 ）当 $\text{[math]}$ 时，原方程可化为： $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （舍去）；

（ 2 ）当 $\text{[math]}$ 时，原方程可化为： $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （舍去）．

综上所述：原方程的解是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．任务：请参照上述方法解方程： $\text{[math]}$ ．

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16. (2024八下·杭州期中) 已知关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 。
1. （1）求证：方程有两个不相等的实数根；
2. （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5。当△ABC是等腰三角形时，求k的值。
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17. (2023九上·青神期中) 关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 取满足条件的最大整数时，求方程的根.
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18. 已知a、b、c是△ABC的三条边长，若x=﹣1为关于x的一元二次方程（c﹣b）x²﹣2（b﹣a）x+（a﹣b）=0的根．
1. （1） △ABC是等腰三角形吗？△ABC是等边三角形吗？请写出你的结论并证明；
2. （2）若代数式子 $\text{[math]}$ 有意义，且b为方程y²﹣8y+15=0的根，求△ABC的周长．
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19. (2023九上·太原期中) 阅读下列材料，完成相应的任务：

课堂上，老师让同学们复习一元二次方程 $\text{[math]}$ 的多种解法，在讨论这些解法之间的关系时，小组同学发言如下：

小彬：分解因式法可以解特殊结构的一元二次方程，基本思路是通过分解因式将方程变形为 $\text{[math]}$ 的形式(其中m，p均不为零)，这样就可以将原方程化为两个一元一次方程 $\text{[math]}$ 或

$\text{[math]}$ ，依据是____，进而得到原方程的根为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

小文：既然能用分解因式法求解关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ ，那么，能否运用一元二次方程 $\text{[math]}$ 的根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将多项式 $\text{[math]}$ 分解因式呢?

小颖：可以!例如 $\text{[math]}$ 时，如果方程 $\text{[math]}$ 的两个根为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，逆推回去可得两个一元一次方程是 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，则原方程即可表示为 $\text{[math]}$ ，这样就可得到多项式 $\text{[math]}$ 分解因式的结果为 $\text{[math]}$ !

例如：已知方程 $\text{[math]}$ 的两根为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 分解因式为 $\text{[math]}$ ；

已知方程 $\text{[math]}$ 的两根为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .则 $\text{[math]}$ 分解因式为 $\text{[math]}$ .

任务：

（1）上述材料中“▲”处的依据为(填写字母序号即可)；
$\text{[math]}$ ：若 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ ：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ .
（2）已知方程 $\text{[math]}$ 的两个根为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则多项式 $\text{[math]}$ 分解因式的结果为；
（3）请从下面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两题中任选一题作答.我选择 ▲ 题.
$\text{[math]}$ ：根据材料中的思路，直接写出多项式 $\text{[math]}$ 分解因式的结果.
$\text{[math]}$ ：根据材料中的思路，直接写出多项式 $\text{[math]}$ 分解因式的结果.

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20. (2023九上·郑州经济技术开发月考) 阅读材料，解决问题.
相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1、3、6、10…，由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示，他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数.

则第 $\text{[math]}$ 个三角数可以用 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 且为整数）来表示.
1. （1）若三角数是55，则n=；
2. （2）把第n个三角点阵中各行的点数依次换为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请用含 $\text{[math]}$ 的式子表示前 $\text{[math]}$ 行所有点数的和；
3. （3）在（2）中的三角点阵中前 $\text{[math]}$ 行的点数的和能为120吗?如果能，求出 $\text{[math]}$ ，如果不能，请说明理由.
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