山东省滨州市2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题

更新时间：2024-08-23 浏览次数：3 类型：期末考试

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. (2024高二下·滨州期末) 已知全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ 则图中阴影部分表示的集合为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高二下·滨州期末) 若随机变量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 0.2 B . 0.4 C . 0.6 D . 0.8

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3. (2024高二下·滨州期末) 若 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. (2024高二下·滨州期末) 若幂函数 $\text{[math]}$ 的图象过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的定义域是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024高二下·滨州期末) 如图，等腰梯形ABCD 的上底CD=1，下底AB=3，高为1．记等腰梯形ABCD 位于直线x=t(0≤t≤3)左侧的图形的面积为 f(t)，则f(t)随t变化时的图象大致是（）

A . B . C . D .

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6. (2024高二下·滨州期末) 若正实数 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 9 B . 6 C . 3 D . 2

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7. (2024高二下·滨州期末) 已知 $\text{[math]}$ ，小明在设置银行卡的数字密码时，打算将 $\text{[math]}$ 的前6位数字1，4，1，4，2，1进行某种排列得到密码．如果排列时要求三个1不相邻，两个4也不相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为（）

A . 6 B . 7 C . 10 D . 12

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8. (2024高二下·滨州期末) 已知 $\text{[math]}$ 表示不超过实数 $\text{[math]}$ 的最大整数，例如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 其中 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值域为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对但不全的得部分分，有选错的得0分．

9. (2024高二下·滨州期末) 设函数 $\text{[math]}$ 则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上为增函数 B . $\text{[math]}$ 为偶函数 C . $\text{[math]}$ 的值域为 $\text{[math]}$ D . 不等式 $\text{[math]}$ 的解集为 $\text{[math]}$

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10. (2024高二下·滨州期末) 已知在 $\text{[math]}$ 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则下列结论正确的是（）

A . n=6 B . 展开式中含 $\text{[math]}$ 的项的系数是 $\text{[math]}$ C . 展开式的各二项式系数和为64 D . 展开式的各项系数和为729

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11. (2024高二下·滨州期末) 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为奇函数， $\text{[math]}$ 为偶函数，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称 B . $\text{[math]}$ 是周期为 4 的周期函数 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分．

12. (2024高二下·滨州期末) 若 $\text{[math]}$ 则ab=．

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13. (2024高二下·滨州期末) 在班级数学兴趣小组活动中，老师准备了2道导数题和6道建模题，某小组的8位同学从中不放回的每人随机抽取一题作答，记 $\text{[math]}$ 表示第 $\text{[math]}$ 位同学抽到导数题， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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14. (2024高二下·滨州期末) 设函数 $\text{[math]}$ 若关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 有5个不相等的实数根，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (2024高二下·滨州期末) 某景点在2024年2月10日至24日(正月初一至正月十五)期间，为吸引游客，共举行了15场精彩的烟花秀节目．前9场的观众人数(单位：万)与场次的统计数据如下表所示：
场次编号x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
观众人数y(单位：万)
1.93
1.95
1.97
1.98
2.01
2.02
2.02
2.05
2.07
经计算可得： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）通过作散点图发现x与y之间具有较强的线性相关关系，试用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程 $\text{[math]}$ (结果中的数值用分数表示)；
2. （2）若该烟花秀节目分A、B 两个等次的票价，该节目组织者随机调查了某场烟花秀节目100位观众购买A、B 两个等次票的情况，其中 60位男性观众中有 15 位观众购买了 B 等票；40位女性观众中有5位观众购买了 B 等票．请根据以上数据，将2×2列联表补充完整，并根据小概率值α=0.050的独立性检验，能否认为观众的性别与购票情况有关联？
  性别
  购买情况
  合计
  购买 A 等票
  购买 B 等票
  男性观众
  
  60
  女性观众
  
  40
  合计
  
  100
  附：
  ①对于一组数据((x₁ ， y₁)，(x₂ ， y₂)，…，(xₙ，yₙ)，其回归直线 $\text{[math]}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
  $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
  ② $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$
  0.050
  0.010
  0.001
  $\text{[math]}$
  3.841
  6.635
  10.828
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16. (2024高二下·滨州期末) 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 有极小值，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 存在单调递减区间，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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17. (2024高二下·滨州期末) 某环保机器制造商为响应“2030年前碳排放达峰行动”的号召，对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后3年内的延保维修方案：
方案一：交纳延保金3000元，在延保的3年内可免费维修1次，超过1次每次收取维修费1000元；
方案二：交纳延保金4000元，在延保的3年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费 t 元；
制造商为制定t元的收取标准，为此搜集并整理了100台这种机器超过保修期后3年内维修的次数，统计得到下表：
维修次数
0
1
2
机器台数
10
40
50
以这100台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记 X 表示 2 台机器超过保修期后 3年内共需维修的次数．
1. （1）求 X 的分布列；
2. （2）以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，求使客户选择方案二更合算时t 的取值范围．
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18. (2024高二下·滨州期末) 已知函数 $\text{[math]}$ 且曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处切线也是曲线 $\text{[math]}$ 的切线．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）若直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 有两个公共点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与曲线 $\text{[math]}$ 有两个公共点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$
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19. (2024高二下·滨州期末) 在数字通信中，信号是由0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为p和 $\text{[math]}$ ；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为q和 $\text{[math]}$ ．假设发送信号0和1是等可能的．
1. （1）若发送信号一次，求接收为正确信号的概率；
2. （2）若随机变量M的分布列为 $\text{[math]}$ 记事件 $\text{[math]}$ 发生后给我们的信息量为 $\text{[math]}$ ，则称X 的均值为M 的信息熵，记为 $\text{[math]}$
  ①设发送信号两次，接收为正确信号的次数为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的信息熵 $\text{[math]}$ 的值；
  ②设发送信号一次，接收为正确信号的次数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的信息熵 $\text{[math]}$ 取得最大值时 $\text{[math]}$ 的值．
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