湖南省衡阳市衡阳县2023-2024学年高二创新实验班下学期...

更新时间：2024-08-26 浏览次数：3 类型：期末考试

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. (2024高二下·衡阳期末) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高二下·衡阳期末) 若复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024高三上·长春模拟) 已知 $\text{[math]}$ 是两个单位向量，若向量 $\text{[math]}$ 在向量 $\text{[math]}$ 上的投影向量为 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ 的夹角为（）

A . 30° B . 60° C . 90° D . 120°

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4. (2024高二下·衡阳期末) 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024高二下·衡阳期末) 将5本不同的书（2本文学书、2本科学书和1本体育书）分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为（）

A . 78 B . 92 C . 100 D . 122

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6. (2024高二下·衡阳期末) 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的公差为 $\text{[math]}$ ，且集合 $\text{[math]}$ 中有且只有 $\text{[math]}$ 个元素，则 $\text{[math]}$ 中的所有元素之积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高二下·衡阳期末) 如图，已知双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的右焦点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线上的一点，点 $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 左支上的一点.若四边形 $\text{[math]}$ 是一个平行四边形，且 $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率是（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . 3

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8. (2024高二下·衡阳期末) 已知函数 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 恰有三个零点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. (2024高二下·衡阳期末) 下列命题正确的是（）

A . 数据 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 分位数为11 B . 已知变量 $\text{[math]}$ 的线性回归方程 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 已知随机变量 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 最大，则 $\text{[math]}$ 的取值为3 D . 已知随机变量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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10. (2024高二下·衡阳期末) 六氟化硫，化学式为 $\text{[math]}$ ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（）

A . 该正八面体结构的表面积为 $\text{[math]}$ B . 该正八面体结构的体积为 $\text{[math]}$ C . 该正八面体结构的外接球表面积为 $\text{[math]}$ D . 该正八面体结构的内切球表面积为 $\text{[math]}$

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11. (2024高二下·衡阳期末) “最速曲线”是一段旋轮线上下翻转而成．旋轮线C的参数方程为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为参数， $\text{[math]}$ 为常数，旋轮线C也可看作某一个函数 $\text{[math]}$ 的图象．下列说法正确的有（）

A . 点 $\text{[math]}$ 在旋轮线C上 B . 函数 $\text{[math]}$ 是偶函数 C . 函数 $\text{[math]}$ 不是周期函数 D . 当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 单调递减

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. (2024高二下·衡阳期末) 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积为.

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13. (2024高二下·衡阳期末) 已知椭圆C： $\text{[math]}$ 的左，右焦点分别是 $\text{[math]}$ 是椭圆C上第一象限内的一点，且 $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ .过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的切线 $\text{[math]}$ ，分别与 $\text{[math]}$ 轴和 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为原点，当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上移动时， $\text{[math]}$ 面积的最小值为.

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14. (2024高二下·衡阳期末) 已知 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 的对边分别是 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为最大边，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及验算步骤.

15. (2024高二下·衡阳期末) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
（1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最值；
（2）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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16. (2024高二下·衡阳期末) 已知四棱柱 $\text{[math]}$ 如图所示，底面 $\text{[math]}$ 为平行四边形，其中点 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 内的投影为点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）已知点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上（不含端点位置），且平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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17. (2024高二下·衡阳期末) 某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日送礼，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中的一个.
（1）记事件 $\text{[math]}$ ：一次性购买 $\text{[math]}$ 个甲系列盲盒后集齐玩偶 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 玩偶；事件 $\text{[math]}$ ：一次性购买 $\text{[math]}$ 个乙系列盲盒后集齐 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 玩偶；求概率 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ ；
（2）某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为 $\text{[math]}$ ，购买乙系列的概率为 $\text{[math]}$ ；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为 $\text{[math]}$ ，购买乙系列的概率为 $\text{[math]}$ ，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为 $\text{[math]}$ ，购买乙系列的概率为 $\text{[math]}$ ；如此往复，记某人第 $\text{[math]}$ 次购买甲系列的概率为 $\text{[math]}$ .
①求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
②若每天购买盲盒的人数约为 $\text{[math]}$ ，且这 $\text{[math]}$ 人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个.

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18. (2024高二下·衡阳期末) 过抛物线外一点 $\text{[math]}$ 作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，我们称 $\text{[math]}$ 为抛物线的阿基米德三角形，弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧边形”的面积恰为相应阿基米德三角形面积的三分之二．如图，点 $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 上的动点， $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 的阿基米德三角形， $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围；
3. （3）设 $\text{[math]}$ 是“圆边形”的抛物线弧 $\text{[math]}$ 上的任意一动点（异于A，B两点），过D作抛物线的切线 $\text{[math]}$ 交阿基米德三角形的两切线边PA，PB于M，N，证明： $\text{[math]}$ ．
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19. (2024高二下·衡阳期末) 若数列 $\text{[math]}$ 满足：存在等差数列 $\text{[math]}$ ，使得集合 $\text{[math]}$ 元素的个数为不大于 $\text{[math]}$ ，则称数列 $\text{[math]}$ 具有 $\text{[math]}$ 性质.
1. （1）已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求证：数列 $\text{[math]}$ 是等差数列，且数列 $\text{[math]}$ 有 $\text{[math]}$ 性质；
2. （2）若数列 $\text{[math]}$ 有 $\text{[math]}$ 性质，数列 $\text{[math]}$ 有 $\text{[math]}$ 性质，证明：数列 $\text{[math]}$ 有 $\text{[math]}$ 性质；
3. （3）记 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前n项和，若数列 $\text{[math]}$ 具有 $\text{[math]}$ 性质，是否存在 $\text{[math]}$ ，使得数列 $\text{[math]}$ 具有 $\text{[math]}$ 性质？说明理由.
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