湖南省衡阳市衡阳县第二中学2024-2025学年高三上学期开...

更新时间：2024-12-26 浏览次数：0 类型：开学考试

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. (2024高三上·衡阳开学考) 设全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高三上·衡阳开学考) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的重心，满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 0 D . $\text{[math]}$

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3. (2024高三上·衡阳开学考) 第14届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行，如图是本次大会的会标，会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是 $\text{[math]}$ ，正是会议计划召开的年份，那么八进制数 $\text{[math]}$ 换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是（）

A . 1 B . 3 C . 5 D . 7

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4. (2024高三上·衡阳开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示，将函数 $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度后，所得到的函数 $\text{[math]}$ 的图象关于原点对称，则 $\text{[math]}$ 的值可能为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024高三上·衡阳开学考) 已知圆 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ ，若在双曲线 $\text{[math]}$ 上存在一点 $\text{[math]}$ ，使得过点 $\text{[math]}$ 所作的圆 $\text{[math]}$ 的两条切线，切点为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024高三上·衡阳开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ 的图象在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ .若函数 $\text{[math]}$ 至少有两个不同的零点，则实数b的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高三上·衡阳开学考) 已知A，B，C，D四点都在表面积为 $\text{[math]}$ 的球O的表面上，若 $\text{[math]}$ 球O的直径，且 $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 体积的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高三上·衡阳开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. (2024高三上·衡阳开学考) 下面四个命题中的真命题为（）

A . 若复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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10. (2024高三上·衡阳开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的定义域均为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为偶函数，则下列选项正确的是（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 的图象关于 $\text{[math]}$ 对称 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2024高二上·邵阳开学考) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 拋物线 $\text{[math]}$ 的标准方程可能为 $\text{[math]}$ B . 挞物线 $\text{[math]}$ 的标准方程可能为 $\text{[math]}$ C . 过点 $\text{[math]}$ 与抛物线只有一个公共点的直线有一条 D . 过点 $\text{[math]}$ 与抛物线只有一个公共点的直线有两条

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. (2024高三上·衡阳开学考) 在 $\text{[math]}$ 的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于.

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13. (2024高三上·衡阳开学考) 已知圆 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的动点，过点 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的切线，切点为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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14. (2024高三上·衡阳开学考) 某同学 $\text{[math]}$ 次上学途中所花的时间 $\text{[math]}$ 单位：分钟 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 已知这组数据的平均数为 $\text{[math]}$ ，标准差为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.

15. (2024高三上·衡阳开学考) 为考察某种药物 $\text{[math]}$ 对预防疾病 $\text{[math]}$ 的效果，进行了动物试验，根据40个有放回简单随机样本的数据，得到如下列联表：
1. （1）补全下面的 $\text{[math]}$ 列联表（单位：只）；
  药物 $\text{[math]}$
  疾病B
  合计
  未患病
  患病
  未服用
  7
  服用
  8
  19
  合计
2. （2）依据 $\text{[math]}$ 的独立性检验，分析药物 $\text{[math]}$ 对预防疾病 $\text{[math]}$ 的有效性.
  参考公式： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .
  参考附表：
  $\text{[math]}$
  0.100
  0.050
  0.025
  $\text{[math]}$
  2.706
  3.841
  5.024
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16. (2024高三上·衡阳开学考) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 为梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值.
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17. (2024高三上·衡阳开学考) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左，右顶点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是椭圆的右焦点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）不过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，记直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，证明直线 $\text{[math]}$ 过定点，并求出定点的坐标．
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18. (2024高三上·衡阳开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性并求极值.
2. （2）设函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的导函数），若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内有两个不同的零点，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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19. (2024高三上·衡阳开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）在一个周期内的图象如图所示，将函数 $\text{[math]}$ 的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 $\text{[math]}$ 的图象．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的单调递增区间；
2. （2）在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．
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