广东省深圳市南山第二外国语学校（集团）海德学校2024-20...

更新时间：2024-09-23 浏览次数：12 类型：开学考试

一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）

1. (2024九上·南山开学考) 在平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆中，既是中心对称图形又是轴对称图形的图形个数（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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2. (2024九上·南山开学考) 下列方程中一定是一元二次方程的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024九上·南山开学考) 关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的一个根是0，则a的值为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 1或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024九上·南山开学考) 如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（1，0），点C的坐标是（﹣2，4），则BD的长是（）

A . $\text{[math]}$ B . 5 C . 3 $\text{[math]}$ D . 4 $\text{[math]}$

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5. (2024九上·南山开学考) 关于x的方程 $\text{[math]}$ 有实数根，则k的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$

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6. (2024九上·南山开学考) 下列说法中，正确的是（）

A . 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B . 对角线相等的四边形是矩形 C . 有一组邻边相等的矩形是正方形 D . 对角线互相垂直的四边形是菱形

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7. (2024九上·南山开学考) 如图，五边形 $\text{[math]}$ 是正五边形，且 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024九上·南山开学考) 在平面直角坐标系中，正方形A₁B₁C₁D₁、D₁E₁E₂B₂、A₂B₂C₂D₂、D₂E₃E₄B₃…按如图所示的方式放置，其中点B₁在y轴上，点C₁、E₁、E₂、C₂、E₃、E₄、C₃…在x轴上，已知正方形A₁B₁C₁D₁的边长为1，∠B₁C₁O=60°，B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃…，则正方形A₂₀₁₇B₂₀₁₇C₂₀₁₇D₂₀₁₇的边长是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

9. (2024九上·南山开学考) 因式分解 $\text{[math]}$ =.

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10. (2024九上·南山开学考) 将一元二次方程(x-2)(2x+1)=x²-4化为一般形式是 .

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11. (2024九上·南山开学考) 若关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有实数根，则实数k的取值范围是.

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12. (2024九上·南山开学考) 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则菱形 $\text{[math]}$ 的面积为．

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13. (2024九上·南山开学考) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E是边 $\text{[math]}$ 上一动点，F是对角线 $\text{[math]}$ 上一动点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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三、解答题（共7大题，共61分）

14. (2024九上·南山开学考) 解方程：
1. （1） $\text{[math]}$ ；
2. （2） $\text{[math]}$ ．
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15. (2024八上·石家庄月考) 先化简代数式 $\text{[math]}$ ，再从 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三个数中选一个恰当的数作为 $\text{[math]}$ 的值代入求值．

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16. (2024九上·南山开学考) 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：同学们，我们把学习新的数学知识的时候，经常利用“化归“的数学思想方法解决问题，比如，我们在学习二元一次方程组的解法时，是通过“消元”的方法将二元方程化归成我们所熟悉的一元方程，从而正确求解．下面我们就利用“化归”的数学方法解决新的问题．首先，我们把像这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 $\text{[math]}$ 的不等式，称为一元二次不等式．通过以前的学习，我们已经认识了一元一次不等式、一元一次不等式组，并掌握了它们的解法．同学们，你们能类比一元一次不等式（组）的解法求出一元二次不等式的解集吗？例题：解一元二次不等式 $\text{[math]}$ ，分析：了解决这个问题，我们需要将一元二次不等式“化归”到一元一次不等式（组），通过平方差公式的逆用，我们可以把 $\text{[math]}$ 写成 $\text{[math]}$ 的形式，从面将 $\text{[math]}$ 转化为 $\text{[math]}$ ，然后再利用两数相乘的符号性质将一元二次不等式转化成一元一次不等式（组），从而解决问题．
解： $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ 可化为 $\text{[math]}$
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得① $\text{[math]}$ ② $\text{[math]}$
解不等式组①， $\text{[math]}$
解不等式组②， $\text{[math]}$
即一元二次不等式 $\text{[math]}$ 的解集为 $\text{[math]}$
拓展应用：
$\text{[math]}$ 求一元二次不等式 $\text{[math]}$ 的解集．
$\text{[math]}$ 求分式不等式 $\text{[math]}$ 的解集．
$\text{[math]}$ 求一元二次不等式 $\text{[math]}$ 的解集．

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17. (2024九上·南山开学考) 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面积．

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18. (2024九上·龙华月考) 根据以下素材，探索完成任务．

如何确定拍照打卡板
素材一	设计师小聪为某商场设计拍照打卡板（如图1），图2为其平面设计图．该打卡板是轴对称图形，由长方形 $\text{[math]}$ 和等腰三角形 $\text{[math]}$ 组成，且点B，F，G，C四点共线．其中，点A到 $\text{[math]}$ 的距离为1.2米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米．
素材二	因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形 $\text{[math]}$ 与等腰三角形 $\text{[math]}$ （两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为85元/平方米，乙材料的单价为100元/平方米．
问题解决
任务一	推理最大高度	小聪说：“如果我设计的方案中 $\text{[math]}$ 长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段 $\text{[math]}$ 长”，他的说法对吗？请判断并说明理由．
任务二	探究等腰三角形 $\text{[math]}$ 面积	假设 $\text{[math]}$ 长度为x米，等腰三角形 $\text{[math]}$ 的面积为S．求S关于x的函数表达式．
任务三	确定拍照打卡板	小聪发现他设计的方案中，制作拍照打卡板的总费用不超过180元，请你确定 $\text{[math]}$ 长度的最大值」

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19. (2024九上·南山开学考) 数学课上，李老师提出问题：如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E是边 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 交正方形外角的平分线 $\text{[math]}$ 于点F．求证： $\text{[math]}$ ．（不需要证明）
经过思考，小聪展示了一种正确的解题思路：如图5，取 $\text{[math]}$ 的中点H，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形，这时只需证 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 全等即可，在此基础上，同学们进行了进一步的探究：
1. （1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边 $\text{[math]}$ 的中点”改为“点E是边 $\text{[math]}$ 上（不含点B，C）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“ $\text{[math]}$ ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程，如果不正确，请说明理由；
2. （2）小华提出：如图3，如果点E是边BC延长线上的任意一点，其他条件不变，那么结论“ $\text{[math]}$ ”是否成立：______（填“是”或“否”）；
3. （3）小丽提出：如图4，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点O与点B重合，正方形的边长为1，当E为 $\text{[math]}$ 边上（不含点B，C）的某一点时， $\text{[math]}$ ，点F恰好落在直线 $\text{[math]}$ 上，请直接写出此时点E的坐标______，以及 $\text{[math]}$ 的面积______．
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20. (2024九上·南山开学考) 如图，在平面直角坐标系中，把矩形 $\text{[math]}$ 沿对角线 $\text{[math]}$ 所在直线折叠，点B落在点D处， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长是关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个根，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）线段 $\text{[math]}$ ______， $\text{[math]}$ ______；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ ，并求出线段 $\text{[math]}$ 的长；
3. （3）直接写出点D的坐标______；
4. （4）若F是直线 $\text{[math]}$ 上一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以点E，C，P，F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
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