矩形的性质与判定——北师大版数学九年级上册知识点训练

更新时间：2024-10-17 浏览次数：3 类型：复习试卷

一、选择题

1. (2024九上·湖南开学考) 如图，矩形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 20° B . 40° C . 80° D . 100°

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2. (2024九上·深圳月考) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点E为 $\text{[math]}$ 延长线上一点，F为 $\text{[math]}$ 的中点，以B为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径的圆弧过 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点G，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . 2.5 B . 3 C . 2 D . 5

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3. (2024九上·宁波月考) 如图，已知在矩形 $\text{[math]}$ 中，M是 $\text{[math]}$ 边的中点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直，交直线 $\text{[math]}$ 于点N，连接 $\text{[math]}$ ，则下列四个结论中：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ．正确的有（）

A . ①②③ B . ①②④ C . ①③④ D . ①②③④

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4. (2024九上·杭州开学考) 在矩形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 的中点，连结 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 翻折，使得点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合， $\text{[math]}$ 的延长线交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的延长线交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ 的值为（　　）

A . 18 B . 12 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024九上·贵阳月考) 如图，O是矩形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 的中点，E是 $\text{[math]}$ 边的中点．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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6. (2024九上·上海市月考) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，斜边上的高 $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，顶点G、F分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，如果 $\text{[math]}$ 恰好经过 $\text{[math]}$ 的重心，那么 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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7. (2024九上·深圳月考) 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）

A . 2 B . 4 C . D . 2

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8. (2024九上·东阳开学考) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，将矩形沿 $\text{[math]}$ 折叠，点 $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 边上点 $\text{[math]}$ 处，再将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，点 $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

9. (2024八上·重庆市月考) 在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点M在 $\text{[math]}$ 边上，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，得到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点N，若点N为 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ 的长度为．

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10. 如图， $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ 的长为．

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11. (2024九上·雁峰开学考) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的大小是．

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12. (2024八上·船山开学考) 把一张长方形纸片 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠后 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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13. (2024八下·广州期末) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上的一个动点，连接 $\text{[math]}$ ，将四边形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，得到四边形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 长度的最小值是．

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三、解答题

14. (2024八下·黄陂期中) 在如图所示 $\text{[math]}$ 小正方形组成的网格中，四边形 $\text{[math]}$ 的四个顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺在给定图形中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题．
1. （1）如图1，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 延长线上一点，在 $\text{[math]}$ 上画点 $\text{[math]}$ ，再在格线上画点 $\text{[math]}$ ，使四边形 $\text{[math]}$ 为矩形；
2. （2）在图2中画格点 $\text{[math]}$ ，使四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形，再在 $\text{[math]}$ 上画点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ．
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15. (2024八下·博罗期末) 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5 $\text{[math]}$ ， ∠C＝30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（t>0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.
1. （1）求证：AE＝DF；
2. （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
3. （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.
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16. (2024·湖北) 如图，矩形ABCD中，E ， F在AD ， BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使E的对称点P落在CD上，F的对称点为G ， PG交BC于H ．
1. （1）求证：△EDP∽△PCH ．
2. （2）若P为CD中点，且AB＝2，BC＝3，求GH长．
3. （3）连接BG ，若P为CD中点，H为BC中点，探究BG与AB大小关系并说明理由．
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17. (2024八下·黔东南期中) 阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图①，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，试求 $\text{[math]}$ 的值．
1. （1）小明发现，过点E作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点F ，经过推理得到 $\text{[math]}$ ，再计算就能够使问题得到（1）解决（如图②），并写出推理和计算过程．
2. （2）参考小明思考问题的方法，请你解决如下问题：
  如图③，已知 $\text{[math]}$ 和矩形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点G ，求 $\text{[math]}$ 的度数．
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18. (2024八下·大余期末) 【课本再现】

思考：我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？
可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形．

（1）【定理证明】
为了证明该定理，小明同学画出了图形 $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ 并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程：
已知：在▱ $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求证：▱ $\text{[math]}$ 是矩形，
（2）【知识应用】
如图 $\text{[math]}$ 在▱ $\text{[math]}$ 中对角线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ 求证：▱ $\text{[math]}$ 是矩形；
$\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上不与 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 重合的一个动点，过点 $\text{[math]}$ 分别作 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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19. (2024九上·麒麟开学考) 在数学兴趣小组活动中，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
【初步思考】
（1）操作一：对折矩形纸片 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，得到折痕 $\text{[math]}$ ，把纸片展平；
操作二：在 $\text{[math]}$ 上选一点 $\text{[math]}$ ，沿 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在矩形内部点 $\text{[math]}$ 处，把纸片展平，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
根据以上操作，当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上时，图1中等于 $\text{[math]}$ 的角有：．（写一个即可）
【迁移探究】
（2）小明将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片 $\text{[math]}$ 按照（1）中的方式操作，并延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
①如图2，当点M在 $\text{[math]}$ 上时， $\text{[math]}$ °；
②若点P是 $\text{[math]}$ 上的一个动点（点P不与点A、D重合），如图3，猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）在（2）的探究中，已知正方形纸片 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

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20. (2024八下·当阳期末) 已知，在矩形ABCD中．
1. （1）若点F是矩形ABCD边上一点，点E在边AB上，连接CE ， AE＝BC ．
  ①如图1，点F在边AD上，且AF＝BE ，连接EF ．求∠CFE的度数；
  ②如图2，点F在边BC上，且BE＝CF ，连接AF交CE于点G ，过C作CH∥AF交AD于H ．求∠AGE的度数．
2. （2）如图3，在矩形ABCD中，若E是边DC上一动点，将△CBE沿BE折叠后得到△NBE ，点N在矩形ABCD内部（不含边），射线BN分别交射线BC ，射线DC于点M ， F ， AB＝8，AD＝6．
  ①当点E是DC的中点时，求线段DF的长；
  ②点E在运动过程中，求出△DEN的周长的最小值．
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