绝对值的最值模型—北师大版数学七（上）知识点训练

更新时间：2024-10-17 浏览次数：2 类型：复习试卷

一、两个绝对值的和的最值

1. (2024七上·永定期末) $\text{[math]}$ 是数轴上一点表示的数，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 5 D . $\text{[math]}$

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2. (2024七上·坡头期末) 规定： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．例如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．下列结论中：①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；②若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；③能使 $\text{[math]}$ 成立的 $\text{[math]}$ 的值不存在；④式子 $\text{[math]}$ 的最小值是7．其中正确的所有结论是（　　）

A . ①②③ B . ①②④ C . ①③④ D . ②③④

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3. (2024七上·广州月考) 式子 $\text{[math]}$ 的最小值是．

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4. (2023七上·斗门期中) 已知a ， b ， c为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示．
1. （1）根据数轴填空：
  ①判断正负：a是数，b-a是数（填“正”或“负”）；
  ②比较大小：ab ， |a||b|；
  ③根据数轴化简：|b|＝，|b-c|＝．
2. （2）数轴上，数a到原点的距离表示|a|，即|a-0|；类似的，数a到数2的距离可表示为；
3. （3）应用：①如果要表示数a到3的距离是7，可记为：|a-3|＝7，那么a＝ ▲ ；
  ②当a取何值时，|a+4|+|a-3|的值最小，最小值是多少？请说明理由．
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5. (2023七上·南山期中) 如图，已知数轴上原点为O，点B表示的数为-4，A在B的右边，且A与B的距离是20，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒．
1. （1）写出数轴上点A表示的数，与点A的距离为3的点表示的数是.
2. （2）点P表示的数（用含t的代数式表示）；点Q表示的数（用含t的代数式表示）
3. （3）假如Q先出发2秒，请问t为何值时PQ相距5个单位长度？
4. （4）若点x是数轴上一点，是否存在整数x，使得|x-3|+|x+2|的值最小？如果存在，请写出最小整数x；如果不存在，请说明理由
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6. 知识理解：同学们，我们在绝对值一节的学习中知道，一般的，数轴上表示数 $\text{[math]}$ 的点与原点的距离叫做数a的绝对值，绝对值符号中含有未知数的方程叫做绝对值方程．像 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都叫做绝对值方程，对于绝对值方程，我们根据绝对值的定义求出未知数的值．
例如：
$\text{[math]}$ 表示在数轴上，数a与数0的距离为5个单位长度，所以， $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，对应的数有两个，分别是5和 $\text{[math]}$ ．
解：因为 $\text{[math]}$ ，所以， $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ 表示在数轴上，数a与数3的距离为5个单位长度，所以， $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，对应的数有两个，分别是8和 $\text{[math]}$ ．
解：因为 $\text{[math]}$ ，所以， $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，解得： $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
1. （1）知识应用：求出下列未知数的值． $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ．
2. （2）知识探究：直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值．
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二、两个绝对值的差的最值

7. 代数式|x-1|-|x+6|-5 的最大值是.

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8. 点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|，若x是一个有理数，且-3<x<1，则|x-1|+|x+3|=.
若|x+a|+|x+1|的最小值为 3，则a的值为.

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9. 数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|.
利用数形结合思想回答下列问题：
1. （1）数轴上表示x和-3的两点之间的距离表示为.
2. （2）若|x+3|=4，则x=.
3. （3） |x-3|-|x+2|最大值为，最小值为.
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10. (2023七上·蓬江月考) 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作 $\text{[math]}$ 。数轴上表示数a的点与表示数b的点距离记作 $\text{[math]}$ 如 $\text{[math]}$ 表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离， $\text{[math]}$ 表示数轴上表示数3的点与表示数－5的点的距离， $\text{[math]}$ 表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离．
根据以上材料回答下列问题：(将结果直接填写在相应位置，不写过程)
（1）若 $\text{[math]}$ ，则x =________；若 $\text{[math]}$ ，则x =___________
（2）若 $\text{[math]}$ ，则x能取到的最小值是_______，最大值是_________
（3）当 $\text{[math]}$ 取最小值时，则x的值为____________
（4）当 $\text{[math]}$ 取最大值时，则x的取值范围是____________

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三、多个绝对值的最值

11. 已知x是正实数，则 $\text{[math]}$ 的最小值是( )

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 0

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12. (2024七上·上城期末) 已知： $\text{[math]}$ ，且abc＞0，a+b+c=0.则m共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最大的值为y，则x+y=（）

A . 4 B . 3 C . 2 D . 1

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13. (2023七上·天津市期中) 式子 $\text{[math]}$ 的最小值是．

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14. (2023七上·威远期中) $\text{[math]}$ 的最小值为.

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15. (2023七上·桐乡市月考) 式子 $\text{[math]}$ 的最小值是．

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16. 阅读下面材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离表示为|AB|=|a-b|.
回答下列问题：
1. （1）数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是.
2. （2）数轴上表示x与-3的两点之间的距离表示为.
3. （3）若x表示数轴上的一个实数，且|x+1|+|x-2|=5，则x=.
4. （4）若x表示数轴上的一个实数，求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+……+|x-2022|+|x-2023|最小值.
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17. (2023七上·湖北期中) 如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等.
11
a
b
2
-7
c
…
1. （1）可求得a=，b=，c=；
2. （2）第2023个格子中的数为；
3. （3）若前m个格子中所填整数之和 $\text{[math]}$ ，则m的值为多少？若 $\text{[math]}$ ， m的值为多少？
4. （4）若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.
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18. (2023七上·顺德月考) 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是________，表示 $\text{[math]}$ 和2两点之间的距离是________．
（2）一般地，数轴上表示数 $\text{[math]}$ 和数 $\text{[math]}$ 的两点之间的距离等于 $\text{[math]}$ ．如果表示数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的两点之间的距离是3，那么 $\text{[math]}$ ________．
（3）若数轴上表示数 $\text{[math]}$ 的点位于 $\text{[math]}$ 与2之间，则 $\text{[math]}$ 的值为________；
（4）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x＋2|＋|x－5|＝7，这些点表示的数的和是．
（5）当 $\text{[math]}$ ________时， $\text{[math]}$ 的值最小，最小值是________．

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19. (2023七上·深圳期中) 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
1. （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝；
2. （2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值；
3. （3）代数式|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|+|a|的最小值是．
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