绝对值的最值模型—人教版数学七（上）知识点训练

更新时间：2024-10-17 浏览次数：5 类型：复习试卷

一、两个绝对值的和的最值

1. (2024七上·永定期末) $\text{[math]}$ 是数轴上一点表示的数，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 5 D . $\text{[math]}$

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2. 点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|，若x是一个有理数，且-3<x<1，则|x-1|+|x+3|=.
若|x+a|+|x+1|的最小值为 3，则a的值为.

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3. (2023七上·潼南期中) 阅读理解
在学习绝对值后， $\text{[math]}$ 可以理解为有理数5与2两数在数轴上所对的两点之间的距离．因为有理数5和2在数轴上对应的两点之间距离为3，所以 $\text{[math]}$ ．数7和 $\text{[math]}$ 之间的距离可以表示为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示数 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离．
1. （1）在数轴上，点 $\text{[math]}$ 分别表示数 $\text{[math]}$ 之间的距离为： $\text{[math]}$ ．
2. （2）在数轴上，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的距离为5，求点 $\text{[math]}$ 表示的数，请运用以上知识解答．
3. （3）根据阅读理解，填空
  ① $\text{[math]}$ 的最小值是．
  ②当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．
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4. (2024七上·浦北期末) 观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离：3与5，4与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ．并回答下列各题：
1. （1）数轴上表示4和 $\text{[math]}$ 两点间的距离是；表示 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 两点间的距离是．
2. （2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为 $\text{[math]}$ ．
  ①数轴上A、B两点间的距离可以表示为（用含x的代数式表示）；
  ②如果数轴上A、B两点间的距离为 $\text{[math]}$ ，求x的值．
3. （3）直接写出代数式 $\text{[math]}$ 的最小值为．
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5. (2023七上·弋阳期中) 认真阅读下面的材料，完成有关问题.
材料：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何意义，如 $\text{[math]}$ 表示6、3在数轴上对应的两点之间的距离； $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 表示6、 $\text{[math]}$ 在数轴上对应的两点之间的距离； $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 表示5在数轴上对应的点到原点的距离。
1. （1）一般地，点A，B，C在数轴上分别表示有理数x、 $\text{[math]}$ 、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为（用含绝对值的式子表示）；
2. （2）利用数轴探究：
  ①满足 $\text{[math]}$ 的x的所有值是；
  ② $\text{[math]}$ 的最小值是，此时x的取值范围为.
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6. (2023七上·通道期中) 同学们都知道， $\text{[math]}$ 表示5与-3之差的绝对值，实际上也可理解为5与-3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：
1. （1）求 $\text{[math]}$ =；
2. （2）写出所有符合条件的整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ；
3. （3）由以上探索猜想对于任何有理数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是否有最小值？如果有写出最小值；如果没有说明理由．
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7. (2023七上·黄石港期末) [阅读材料]
数轴是非常重要的数学工具，它可以使问题更加直观．数轴上两点间的距离，可以看作数轴上这两点所对应的数差的绝对值．如图1，数轴上有A、B、C三个点，表示的数分别为： $\text{[math]}$ 、2、4，A、B两点之间的距离为 $\text{[math]}$ ．
[初步感知]
1. （1）如图1，A、C两点之间的距离为；
2. （2）数轴上表示x和3两点之间的距离为；
3. （3） [拓展研究]
  数轴上有个动点表示的数是x，则 $\text{[math]}$ 的最小值是；
4. （4）已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值是；
5. （5） [实际应用]
  某县城可近似看作为一个正方形，如图2，正方形的四个顶点处有四家快递公司A、B、C、 D，它们分别有快递车24辆、12辆、6辆、18辆．为迎接“双十一”活动，使得各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调动车辆：那么一共调动的车辆数最小值为辆．（不考虑其他因素）
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8. (2023七上·南昌期中) 同学们都知道， $\text{[math]}$ 表示5与 $\text{[math]}$ 之差的绝对值，实际上也可理解为5与 $\text{[math]}$ 两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：
1. （1）求 $\text{[math]}$ ．
2. （2）找出所有符合条件的整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 这样的整数是．
3. （3）由以上探索猜想对于任何有理数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是否有最小值？如果有写出取小值，如果没有说明理由．
4. （4）由以上探索是否存在 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，如果有写出 $\text{[math]}$ 的值，如果没有说明理由．
5. （5）由以上探索是否存在 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，如果有写出 $\text{[math]}$ 的值，如果没有说明理由．
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9. (2023七上·新绛期中) 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如，代数式 $\text{[math]}$ 的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 的几何意义就是数轴上x所对应的点与 $\text{[math]}$ 所对应的点之间的距离．
发现问题：代数式 $\text{[math]}$ 的最小值是多少？
探究问题：在数轴上，点A、B、P分别表示的是 $\text{[math]}$ ， 2，x ，易得 $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ 的几何意义是线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的长度之和，
①当点P位于点A的左侧时，如图1，这时 $\text{[math]}$

②当点P位于线段 $\text{[math]}$ 上（含点A、点B）时，如图2，这时 $\text{[math]}$ ．
1. （1）问题解决：请你仿照上面的解题思路，自己画图并完成第三种情形，并写出最终的结论．
2. （2）拓展应用：代数式 $\text{[math]}$ 的最小值是．
3. （3）当a为何值时， $\text{[math]}$ 的最小值是2．
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10. (2023七上·东阳月考) 对于有理数x，y，a，t，若|x-a|+|y-a|=t，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如，|2-1|+|3-1|=3，则2和3关于1的“美好关联数”为3．
1. （1） -1和5关于2的“美好关联数”为；
2. （2）若x和5关于3的“美好关联数”为4，求x的值：
3. （3）若x₀和x₁关于1的“美好关联数”为1，x₁和x₂关于2的“美好关联数”为1，x₂和x₃关于3的“美好关联数”为1，……，x₁₉₉₉和x₂₀₀₀关于2000的“美好关联数”为1，……
  ①x₀+x₁的最小值为 ▲ ；
  ②x₁+x₂+x₃+……+x₂₀₀₀的最小值是多少？
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二、两个绝对值的差的最值

11. 代数式|x-1|-|x+6|-5 的最大值是.

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12. 数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|.
利用数形结合思想回答下列问题：
1. （1）数轴上表示x和-3的两点之间的距离表示为.
2. （2）若|x+3|=4，则x=.
3. （3） |x-3|-|x+2|最大值为，最小值为.
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13. (2023七上·蓬江月考) 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作 $\text{[math]}$ 。数轴上表示数a的点与表示数b的点距离记作 $\text{[math]}$ 如 $\text{[math]}$ 表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离， $\text{[math]}$ 表示数轴上表示数3的点与表示数－5的点的距离， $\text{[math]}$ 表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离．
根据以上材料回答下列问题：(将结果直接填写在相应位置，不写过程)
（1）若 $\text{[math]}$ ，则x =________；若 $\text{[math]}$ ，则x =___________
（2）若 $\text{[math]}$ ，则x能取到的最小值是_______，最大值是_________
（3）当 $\text{[math]}$ 取最小值时，则x的值为____________
（4）当 $\text{[math]}$ 取最大值时，则x的取值范围是____________

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三、多个绝对值的最值

14. 已知x是正实数，则 $\text{[math]}$ 的最小值是( )

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 0

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15. (2023七上·休宁期中) 已知式子 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值是；

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16. (2023七上·成都期中) |x﹣4|+|x+2|的最小值为； $\text{[math]}$ =．

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17. (2023七上·义乌月考) 数轴上表示x和1的两点之间的距离为 $\text{[math]}$ .
①求 $\text{[math]}$ 的最小值；
②求 $\text{[math]}$ 的最小值.

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18. 我们知道，|a|的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：
1. （1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为，数x与-1所对应的点的距离为；
2. （2）求|x+1|-|x-1|的最大值；
3. （3）直接写出|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|-|x-1|-|x-2|-|x-3|-|x-4|的最大值为.
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19. (2023七上·吉州月考) 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
1. （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；数轴上表示 $\text{[math]}$ 和2两点之间的距离是________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可以表示为 $\text{[math]}$ ，那么，数轴上表示数x与5两点之间的距离可以表示为________，表示数y与 $\text{[math]}$ 两点之间的距离可以表示为________．
2. （2）如果表示数a和 $\text{[math]}$ 的两点之间的距离是3，那么 $\text{[math]}$ _______；若数轴上表示数a的点位于 $\text{[math]}$ 与2之间，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）当 $\text{[math]}$ _______时， $\text{[math]}$ 的值最小，最小值是______．
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20. 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
1. （1）表示-3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|.如果|a+2|=3，那么a=．
2. （2）若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，则|a+4|+|a-2|的值为；
3. （3）若|a+2|+|a-5|=9，求a；
4. （4）求|a+3|+2|a-2|+3|a-4|的最小值.
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21. (2024七上·隆回期末)
如图1数轴上A、B两点表示的有理数分别为a ， b则A、B两点间的距离 $\text{[math]}$ ．
研讨1：某高铁线路上有A、B两站，现要在AB段上选址物流中心M ，使 $\text{[math]}$ 最短，M选在哪？
甲的探究：由绝对值的几何意义，M应选在A、B之间时， $\text{[math]}$ 才最短．
研讨2：如图2高铁线路上有A、B、C三站，如何选址物流中心M ．使 $\text{[math]}$ 最短？
乙的探究：物流中心M应选在C站， $\text{[math]}$ 才最短．
研讨3：如图3高铁线路上有A、B、C、D四站，M选在哪，才使得 $\text{[math]}$ 最短？
丙的探究：M应选在C、D之间， $\text{[math]}$ 最短．
根据以上探究结论求 $\text{[math]}$ 的最小值．

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22.
1. （1）探索材料1(填空)：
  数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|.例如数轴上表示数2和5的两点距离为|2-5|=；数轴上表示数3和-1的两点距离为|β-(-1)|=；|x+4|的意义可理解为数轴上表示数和这两点的距离；
2. （2）探索材料2(填空)：
  ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小?
  ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C三点的距离之和最小?
  ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小?
3. （3）结论应用(填空)：
  ①代数式|x+3|+|x-4|的最小值是，此时x的范围是；
  ②代数式|x+6|+|x+3|+|x-2|的|的最小值是，此时x的值为；
  ③代数式|x+7|+|x+4|+|x-2|+|x-5||的最小值是，此时x的范围是.
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23. (2024七上·盘州期末)
1. （1）【阅读理解】
  如图所示， $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 可以表示在同一条数轴上1所对应的点与3所对应的点之间的距离.
  根据以上信息，在同一条数轴上有理数 $\text{[math]}$ 所对应的点与 $\text{[math]}$ 所对应的点之间的距离可表示为（只写一种）.
2. （2）【探索发现】
  若有理数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， 5在同一条数轴上所对应的点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值，当 $\text{[math]}$ 的值最小时，点 $\text{[math]}$ 在什么位置？
3. （3）【联系拓广】
  直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值.
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