《全等三角形》精选压轴题—2024年浙教版数学八（上）期中复...

更新时间：2024-10-21 浏览次数：16 类型：复习试卷

一、选择题

1. (2023八上·温州期中) 将三个全等的小正方形按如图所示摆放在长方形ABCD内部，其中M，N，P，Q分别在长方形的边AB，BC，CD，DA上，若AB=8，BC=10，则图中小正方形的边长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023八上·台州期中) 如下图所示，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，D在CE上，F是CB延长线上一点，AF⊥BC，下列结论：①∠ACF=45°；②四边形ABCD的面积等于 $\text{[math]}$ AC²；③CE=2AF；④S_△_BCD=S_△ABF+S_△ADE其中正确的是（）

A . ①② B . ②③ C . ①②③ D . ①②③④

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3. (2024八上·保定月考) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 于点D，在 $\text{[math]}$ 上取点F，使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点E，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2023八上·渝水月考) 如图，在锐角 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上的动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . $\text{[math]}$ B . 6 C . $\text{[math]}$ D . 3

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5. (2024八上·永嘉月考) 学习了全等三角形后，我们知道中点在平行线之间的题目通常会用到倍长中线构造“8”字型全等的方法，比如在图1，已知 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点E，若E为 $\text{[math]}$ 中点，则有 $\text{[math]}$ ．请利用以上方法解决下列问题．
问题1：为测量河对岸A点到B点的距离，可借鉴上述方法求值：过点B画直线 $\text{[math]}$ ，并在直线 $\text{[math]}$ 上依次取C点和D点，使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，补全图形，指出测量哪条线段就可知道 $\text{[math]}$ 的长，请加以证明．
问题2：【深入思考】如图3，在 $\text{[math]}$ 中，D是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试判断线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系并证明．
问题3：如图4，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D为 $\text{[math]}$ 中点，连结 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长______．

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6. (2023八上·杭州期中) 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD ， CE⊥AB于点E ， ∠ADC＋∠ABC＝180°，有下列结论：①CD＝CB；②AD＋AB＝2AE；③∠ACD＝∠BCE；④ $\text{[math]}$ － $\text{[math]}$ ＝2 $\text{[math]}$ ，其中正确的是（）

A . ② B . ①②③ C . ①②④ D . ①②③④

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7. (2023八上·东阳期中) 如图， $\text{[math]}$ 的两条直角边 $\text{[math]}$ ．分别以 $\text{[math]}$ 的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 4 B . 3 C . 2 D . 0

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8. (2023八上·萧山期中) 某同学参考“赵爽弦图”，在正方形ABCD中，连结AC，BD相交于点O，分正方形ABCD为四个全等的直角三角形，向外延长正方形的边至点E，F，G，H，使AE=DH=CG= BF，得到如图所示的“数学风车”．记四边形POQD的面积为S₁ ， △OBF的面积为S₂ ，若OB＝BF，则 $\text{[math]}$ 的值为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2023八上·余杭期中) 如图， $\text{[math]}$ 为线段AE上一点（不与点A，E重合），点AE同侧分别作正 $\text{[math]}$ 和正 $\text{[math]}$ ，连结AD，交BC交于点 $\text{[math]}$ ；连结BE，交CD交于点Q，AD与BE交于点 $\text{[math]}$ .下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ .正确的是（）

A . ①②③ B . ②③④ C . ①②④ D . ①②③④

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二、填空题

10. (2023八上·杭州期中) 如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC，过A作AE⊥BD于点E.若∠ABC+4∠C=180°，AB=5，BC=12，则AE= .

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11. (2024七下·顺德月考) 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝14cm，点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点，点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点，点P和Q分别以2cm/s和3cm/s的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设运动时间为t秒，要使以点P，E，C为顶点的三角形与以点Q，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为．

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12. (2023八上·萧山期中) 如图，△ABC中，∠A＝90°，角平分线BD、CE交于点I，IF⊥CE交CA于F，下列结论：①∠DIF＝45°；②CF
+BE=BC；③若AB＝3，AC＝4，则 $\text{[math]}$ .其中正确的是．

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13. (2023·期中) 商场卫生间旋转门锁的局部图如图1所示，图2是其工作简化图．其中OD＝3.5cm，在自然状态下，把手竖直向下（把手底端到达A处）．旋转一定角度，使得把手底端B恰好卡在门边，此时底端A，B的竖直高度差为0.5cm，则OB的长度是 cm．当把手旋转到OC⊥OB时，点C与点B的高度差BH是 cm．

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三、解答题

14. (2023八上·温州期中) 如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点P是射线BC上一动．点，过点P作AC的垂线，交射线AC于点E，交射线AB于点D，连结AP．
1. （1）当PB=PE时，求EC的长．
2. （2）如图2，当BP=BA时，求BD的长．
3. （3）连结CD，在点P的整个运动过程中，当△APC是等腰三角形时，求△BDC的面积．
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15. (2023八上·拱墅期中) 如图1，在△ABC中，BO⊥AC于点O，AO＝BO＝3，OC＝1，过点A作AH⊥BC于点H，交BO于点P．
1. （1）求线段OP的长度；
2. （2）连接OH，求证：∠OHP＝45°；
3. （3）如图2，若点D为AB的中点，点M为线段BO延长线上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交线段OA延长线于N点，则S_△BDM-S_△ADN的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
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16. (2023八上·奉化期中) 如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，如图 $\text{[math]}$ ，等腰 $\text{[math]}$ 与等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，我们把它们构成的这个图形叫做“手拉手模型”．
1. （1）【模型探究】
  如图 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 存在怎样的数量关系？请证明你的结论．
2. （2）【应用模型】
  如图 $\text{[math]}$ ，等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边的中点，直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的动点，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到线段 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．
  $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边上时，求 $\text{[math]}$ ．
  $\text{[math]}$ 直接写出在点 $\text{[math]}$ 运动过程中，点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 之间的最短距离．
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17. (2023八上·东阳期中) 如图①，正方形ABCD中，AB=3，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．
(注：正方形的四条边都相等，四个角都是直角)
1. （1）求证：DP=DQ；
2. （2）如图②，作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，试探究PE和QE的数量关系；
3. （3）如图③，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连接PE，若AB：AP=3：4，请求出△DEP的面积．
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18. (2022八上·杭州期中) 如图
1. （1）思维启迪：
  如图 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系为，位置关系为；
2. （2）思维探索：
  $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 内一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，请用等式表示 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由；
  $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 重合 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长．
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19. (2023八上·临海期中)
1. （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC ，直线l经过点A ， BD⊥直线l ， CE⊥直线l ，垂足分别为点D、E ．证明：DE＝BD+CE ．
2. （2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC ， D ， A ， E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α ，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
3. （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG ， AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I ，求证：I是EG的中点．
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20. (2023八上·萧山期中) 如图
1. （1）如图1，把一块三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A，B，C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D＝∠E＝90°，在滑动过程中；你发现线段AD与BE有什么数量关系？试说明你的结论
2. （2）【变式探究】如图2，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，若∠B＝∠FDE＝∠C，那么∠BED与∠CDF有何关系，并加以说理；
3. （3）【拓展应用】如图3，在△ABC中，BA=BC，∠B＝45°，点D、F分别是边BC、AB上的动点，且AF=2BD，以DF为腰向右做等腰△DEF，使得DE＝DF，∠EDF＝45°，连接CE.
  ①试判断线段DC、BD、BF之间的数量关系，并说明理由；
  ②如图4，已知AC＝2，点G是AC的中点，连接EA，EG，直接写出EA+EG的最小值．
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21. (2023八上·安吉期中) 【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，AD是△ABC的中线，若AB=5，AC=3，求AD的取值范围.
1. （1）【探究方法】
  小强所在的小组通过探究发现，延长AD至点E使ED=AD，连接BE.
  可以证出△ADC≌△EDB，利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD转化到到△ABE中，进而求出AD的取值范围.
  方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线AD延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”.
  请你利用上面解答问题的思路方法，求出求AD的取值范围的过程.
2. （2）【问题解决】
  如图②，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC，下列四个选项中：A．AC=BE B．CE=2CD C．∠BCD=∠BCE D．∠ACD=∠BCD.直接写出所有正确选项的序号是.
3. （3）【问题拓展】
  如图③，在△ABO和△CDO中，OA=OB，OC=OD，∠AOB与∠COD互补，连接AC、BD，E是BD的中点，求证：OE= $\text{[math]}$ AC.
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