湖南省长沙市南雅中学2024-2025学年九年级上学期第一次...

更新时间：2024-11-21 浏览次数：0 类型：月考试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1. (2024九上·长沙月考) 我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响，下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）

A . 刘徽的割圆术 B . 中国七巧板 C . 杨辉三角 D . 赵爽弦图

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2. (2024九上·长沙月考) 今年1月3日，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面着陆，标志着我国已经成功开始了对月球背面的研究，填补了国际空白．月球距离地球的平均距离为 $\text{[math]}$ 千米，数据 $\text{[math]}$ 用科学记数法表示为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024九上·长沙月考) 下列计算正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024九上·长沙月考) 关于二次函数 $\text{[math]}$ 的图象，下列说法错误的是（）

A . 对称轴是直线 $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 随 $\text{[math]}$ 的增大而减小 C . 图象与 $\text{[math]}$ 轴没有交点 D . 顶点坐标为 $\text{[math]}$

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5. (2024九上·长沙月考) “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考查所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位： $\text{[math]}$ ）分别是： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．则这组数据的众数和中位数分别是（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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6. (2024九上·武威月考) 已知 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的两个根，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 3 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024九上·长沙月考) 如图，两个同心圆的半径分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，弦 $\text{[math]}$ 与小圆相切于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024九上·长沙月考) 如图，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上，则 $\text{[math]}$ 的大小是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2024九上·长沙月考) 某工厂七月份生产零件 $\text{[math]}$ 万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为 $\text{[math]}$ ，如果第三季度共生产零件 $\text{[math]}$ 万个，那么 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 满足的函数关系式是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2024九上·长沙月考) 如图，点E是 $\text{[math]}$ 的内心， $\text{[math]}$ 的延长线和 $\text{[math]}$ 的外接圆相交于点D，与 $\text{[math]}$ 相交于点G，则下列结论：① $\text{[math]}$ ；②若点G为 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ ；③连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ．其中一定正确的个数是（）

A . 4 B . 3 C . 2 D . 1

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二、填空题（每小题3分，共18分）

11. (2024九上·天心月考) 分解因式： $\text{[math]}$ =。

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12. (2024九上·长沙月考) 已知点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 关于原点对称，则 $\text{[math]}$ 的值等于．

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13. (2024九上·长沙期中) 若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是°．

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14. (2024九上·长沙月考) 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴的一个交点为 $\text{[math]}$ ，则关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 的两根为．

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15. (2024九上·长沙月考) 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，点C、D、E在 $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为．

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16. (2024九上·长沙月考) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转得到 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边上，连接 $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ 的长为．

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三、解答题（共72分）

17. (2024九上·长沙月考) 计算： $\text{[math]}$ ．

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18. (2024九上·长沙月考) 先化简，再求值： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

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19. (2024九上·长沙月考) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，分别以点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为圆心，以大于 $\text{[math]}$ 为半径作弧，两弧分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

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20. (2024九上·长沙月考) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，延长 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求菱形 $\text{[math]}$ 的面积．
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21. (2024九上·长沙月考) 利用图中的网格线（最小的正方形的边长为1）画图．
1. （1）画出 $\text{[math]}$ 关于原点O对称的中心对称图形 $\text{[math]}$ ；
2. （2）画出 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到的 $\text{[math]}$ ，并写出点 $\text{[math]}$ 的坐标为___：
3. （3）在（2）的旋转变换中，求线段 $\text{[math]}$ 扫过的面积．
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22. (2024九上·长沙月考) 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 延长线上的一点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的半径．
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23. (2024九上·长沙月考) 某宾馆有 $\text{[math]}$ 个房间供游客居住，当每个房间每天的定价是 $\text{[math]}$ 元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加 $\text{[math]}$ 元时，就会有一个房间空闲，空闲的房间可以出租储存货物，每个空闲房间每天储存货物可获得 $\text{[math]}$ 元的利润，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天额外支出 $\text{[math]}$ 元的各种费用，储存货物不需要额外支出费用，设空闲房间有 $\text{[math]}$ 间且全部用于出租储存货物．
1. （1）用含 $\text{[math]}$ 的式子表示下列各量：
  ①供游客居住的房间数是_____________间；
  ②每个房间每天的定价是___元；
  ③该宾馆每天的总利润 $\text{[math]}$ 是___元；
2. （2）若游客居住每天带来的那部分总利润为 $\text{[math]}$ 元时，求空闲房间每天储存货物获得的总利润是多少元?
3. （3）该宾馆计划接受 $\text{[math]}$ 吨的货物存储，每个房间最多可以存储 $\text{[math]}$ 吨，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天的总利润 $\text{[math]}$ 最大，最大利润是多少元?
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24. (2024九上·长沙月考) 定义：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗?
I．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的 $\text{[math]}$ 个顶点共圆（图1、2）；
II．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的 $\text{[math]}$ 个顶点共圆（图3）；
III．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图4）．
【结论证明】（1）在图1、2中，取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，根据______得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 共圆；
（2）在图3中，画 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （图5）．假设点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 外， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ___ $\text{[math]}$ ，与已知条件___得出矛盾；同理点 $\text{[math]}$ 也不会落在 $\text{[math]}$ 内，即 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 共圆．结论III同理可证．
【理解应用】利用四点共圆解决下述两个问题：
（3）证明锐角三角形的三条高交于一点．
已知：如图6，锐角三角形 $\text{[math]}$ 的高 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的高．
（4）如图7，若二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为第二象限上的点，在直线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上方抛物线上的一动点，令 $\text{[math]}$ 点横坐标为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 的面积最大，求出此时 $\text{[math]}$ 点坐标和最大面积．

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25. (2024九上·长沙月考) 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）如图2，连接 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 上方的抛物线上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
3. （3）如图3，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转，记旋转过程中的 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点为点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点为点 $\text{[math]}$ ．当点 $\text{[math]}$ 刚好落在线段 $\text{[math]}$ 上时，将 $\text{[math]}$ 沿着直线 $\text{[math]}$ 平移，在平移过程中，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线对称轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 是平面内任意一点，是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得以 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
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