一元二次方程根与系数的关系——北师大版数学九年级上册知识点训...

更新时间：2024-10-25 浏览次数：2 类型：复习试卷

一、选择题

1. (2024九上·游仙月考) 若 $\text{[math]}$ 是一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024九上·惠阳月考) 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024九上·惠州月考) 已知关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个根分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，则m的值是（）

A . 0 B . $\text{[math]}$ C . 0或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或0

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4. (2024九上·江汉月考) 若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的两个根，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024九下·涪城模拟) 已知关于x的方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则m的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ 或1 D . $\text{[math]}$ 或3

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6. (2024九上·宜都月考) 已知a、b是一元二次方程 $\text{[math]}$ 的根，则代数式 $\text{[math]}$ 的值是（　　）

A . 3 B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024八下·上虞期末) 在解一元二次方程时，小马同学粗心地将 $\text{[math]}$ 项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程 $\text{[math]}$ 同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ．其中正确结论的个数是（）

A . 0个 B . 1个 C . 2个 D . 3个

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二、填空题

9. (2024八下·宁波期末) 关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是

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10. (2024九下·高港模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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11. 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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12. (2023九上·成都开学考) 已知实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的值为．

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13. (2024九上·石家庄月考) 若 $\text{[math]}$ ，且一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个实数根，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是；若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根且满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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三、计算题

14. (2024九上·天河月考) 设 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
1. （1） $\text{[math]}$ ；
2. （2） $\text{[math]}$ ．
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15. (2024九上·大冶月考) 关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若方程总有两个实数根，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）在（1）的条件下，若两个实数根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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四、解答题

16. (2024九上·南沙月考) 已知关于x的方程 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若方程总有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
2. （2）若两实数根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求m的值．
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五、实践探究题

17. (2024八下·余杭期中) 【综合与实践】
【问题情境】对于关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ （a ， b ， c为常数，且 $\text{[math]}$ ），求方程的根的实质是找到一个x的具体的值，代入之后等式成立．一般情况下，如果有两个不同的x的具体值都满足，这就说明这个方程有两个根，且两根与a ， b ， c之间具有一定的关系．
【操作判断】项目研究小组经过讨论得到两个结论：
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，则一元二次方程 $\text{[math]}$ 必有一根是1．
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，则一元二次方程 $\text{[math]}$ 必有一根是－1．
  请判断两个结论的真假，并说明原因．
3. （3）【实践探究】项目研究小组经过讨论编制了以下问题，请帮助解决：
  方程 $\text{[math]}$ 的较大的根为p ，方程 $\text{[math]}$ 的较小的根为q ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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18. (2024九上·湘西期末) 阅读材料：
材料1：如图，是由四个长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ 的长方形拼摆而成的正方形，其中 $\text{[math]}$ ，则根据图形可以得到等式 $\text{[math]}$ ．
材料2：若一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个根为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
材料3：已知实数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的两个不相等的实数根．
根据上述材料解决以下问题：
1. （1）材料理解：一元二次方程 $\text{[math]}$ 两个根为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ______， $\text{[math]}$ _____．
2. （2）应用探究：一元二次方程 $\text{[math]}$ 两个根为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ _______．
3. （3）思维拓展：已知实数 $\text{[math]}$ 分别满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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六、阅读理解题

19. (2024九下·庐阳模拟) 类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料：
设 $\text{[math]}$ 的两个根为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 比较系数，可得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
类比推广，回答问题：设 $\text{[math]}$ 的三个根为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （___________） $\text{[math]}$ （___________）．
比较系数，可以得到一元三次方程的根与系数的关系：
$\text{[math]}$ ___________，___________ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ___________．

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20. (2024八下·张店期中) 阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程 $\text{[math]}$ ，如果我们把 $\text{[math]}$ 看作一个整体，然后设 $\text{[math]}$ ，则原方程可化为 $\text{[math]}$ ，经过运算，原方程的解为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，显然m，n是方程 $\text{[math]}$ 的两个不相等的实数根，由韦达定理可知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
根据上述材料，解决以下问题：
1. （1）直接应用：
  方程 $\text{[math]}$ 的解为_______________________；
2. （2）间接应用：
  已知实数a，b满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）拓展应用：
  已知实数x，y满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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