勾股定理的规律型问题—北师大版数学八（上）知识点训练

更新时间：2024-10-27 浏览次数：23 类型：复习试卷

一、选择题

1. (2024八下·荆州期中) 《九章算术》提供了许多组勾股数，如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”.后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数.由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”.根据以上规律，“由10生成的勾股数”的“弦数”为（）

A . 26 B . 101 C . 13 D . 24

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2. (2023八上·南海月考) 如图，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为1，其面积标记为 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 $\text{[math]}$ ， …，按照此规律继续下去，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2023八下·庆云期末) “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为（）

A . 126 B . 127 C . 128 D . 129

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二、填空题

4. (2024八下·青山湖月考) 附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律：
①3，4，5；
②5，12，13；
③7，24，25；
④9，40，41；…
请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：．

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5. (2024八上·宝安开学考) 如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则 $\text{[math]}$ 的值为

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6. (2024八下·冷水滩开学考) 图1是第七届国际数学教育大会（JCME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点 $\text{[math]}$ 的直角三角形演化而成的．若图2中的 $\text{[math]}$ ，按此规律继续演化，则 $\text{[math]}$ 的面积为．

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7. (2024八上·龙岗月考) 勾股定理 $\text{[math]}$ 本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解 $\text{[math]}$ 常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…，分析上面勾股数组可以发现， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…分析上面规律，第6个勾股数组为．

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8. (2018八上·昌图月考) 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA₁A₂的直角边OA₁在y轴的正半轴上，且OA₁= A₁A₂=1.以OA₂为直角边作第二个等腰直角三角形OA₂A₃ ，以OA₃为直角边作第三个等腰直角三角形OA₃A₄……依次规律得到等腰直角三角形OA₂₀₁₅A₂₀₁₆ ，则点A₂₀₁₅的坐标为.

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9. (2020八上·长沙期末) 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．如图所示，是一棵由正方形和含 $\text{[math]}$ 角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树的主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为 $\text{[math]}$ ，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为 $\text{[math]}$ ，…，第 $\text{[math]}$ 个正方形和第 $\text{[math]}$ 个直角三角形的面积之和为 $\text{[math]}$ ．
设第一个正方形的边长为1．

请解答下列问题：
1. （1） $\text{[math]}$ ．
2. （2）通过探究，用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
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10. (2023八下·庐阳期末) 如图，在直线 $\text{[math]}$ 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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11. (2021八下·朝阳期末) 如图， $\text{[math]}$ ，过P作 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，由勾股定理得 $\text{[math]}$ ；再过P作 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ；又过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ；…依次类推，得 $\text{[math]}$ ．

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12. (2021八下·宾阳期中) 如图，四边形 $\text{[math]}$ 是边长为1的正方形，以对角线 $\text{[math]}$ 为边作第二个正方形 $\text{[math]}$ ，再以对角线 $\text{[math]}$ 为边作第三个正方形 $\text{[math]}$ ，如此进行下去……，记正方形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，按上述方法所作的正方形的边长依次为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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三、解答题

13. (2023八下·凤山期末) 当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且 $\text{[math]}$ ，所以3，4，5是勾股数.观察下列各勾股数有哪些规律；
3，4，5；
9，40，41；
5，12，13；
……；
7，24，25；
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值
2. （2）判断10，24，26是否为一组勾股数？若是，请说明理由.
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14. (2024八下·湖北期中) 规律探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题.
$\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的面积）；
$\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的面积）；
$\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的面积）；
…
1. （1）请用含有 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为正整数）的等式 $\text{[math]}$ .
2. （2）推算出 $\text{[math]}$ .
3. （3）求出 $\text{[math]}$ 的值.
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