人教版数学九年级全册知识点训练营——弦切角定理模型及阿基米德...

证明：∵AB切⊙O于点A，∴∠CAB=90°，又∵AC是直径，∴∠P=90°∴∠CAB=∠P

问题拓展：若AC不经过圆心O（如图3），该结论：弦切角∠CAB=∠P还成立吗？请说明理由．

知识运用：如图4，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F．求证：EF∥BC．

人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也．”．意思说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．

我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．

弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数．

下面是弦切角定理的部分证明过程：

证明：如图①，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在弦AC上时，容易得到∠CAB＝90°，所以弦切角∠BAC的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数．

如图②，AB与⊙O相切于点A ， 当圆心O在∠BAC的内部时，过点A作直径AD交⊙O于点D ， 在上任取一点E ， 连接EC ， ED ， EA ， 则∠CED＝∠CAD．

任务：

任务：

阿拉伯Al-Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．

阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．

小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD＝AB+BD，过程如下：

证明：如图2所示，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．

∵M是的中点，∴MA＝MC，…

【阅读材料】在《阿基米德全集》中的《引理集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的六个有关圆的引理，其中第二个引理是：

如图1，点P是弧的任意一点，于点C，点D在弦上且 ， 在弧上取一点Q，使弧=弧 ， 连接 ， 则有.

阿基米德折弦定理：如图①，已知 和 是 的两条弦（即折线 是 的一条折弦）， 是 的中点．那么从 向 所作垂线的垂足 是折弦 的中点，即 ．

下面是运用“截长法”证明 的部分证明思路：

证明：如图②，在 上截取 ，连接 ，……

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