吉林省长春市第二中学2025届高三上学期第二次调研考试数学试...

更新时间：2025-01-02 浏览次数：19 类型：高考模拟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. (2024高三上·朝阳模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 设等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的公差为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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3. (2024高三上·朝阳模拟) “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. (2024高二上·广州期中) 设 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024高三上·朝阳模拟) 将函数 $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度后得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . 3

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6. (2024高三上·朝阳模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高三上·朝阳模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 且互不相等，则使得指数函数 $\text{[math]}$ ，对数函数 $\text{[math]}$ ，幂函数 $\text{[math]}$ 中至少有两个函数在 $\text{[math]}$ 上单调递增的有序数对 $\text{[math]}$ 的个数是（）

A . 16 B . 24 C . 32 D . 48

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8. (2024高三上·朝阳模拟) 现定义如下：当 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为延展函数.已知当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 均为延展函数，则以下结论（）
（1）存在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有无穷个交点
（2）存在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有无穷个交点

A . （1）（2）都成立 B . （1）（2）都不成立 C . （1）成立（2）不成立 D . （1）不成立（2）成立.

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. (2024高三上·朝阳模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 为偶函数 C . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增 D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

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10. (2024高三上·朝阳模拟) 若正数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2024高三上·朝阳模拟) 已知定义域均为 $\text{[math]}$ 的函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，其导函数分别为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 的图像关于点 $\text{[math]}$ 对称，则（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称 B . 8是函数 $\text{[math]}$ 的一个周期 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. (2024高三上·铜梁月考) 已知角 $\text{[math]}$ 的终边经过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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13. (2024高三上·朝阳模拟) 设当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 取得最大值，则 $\text{[math]}$ .

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14. (2024高三上·朝阳模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 若函数 $\text{[math]}$ 有唯一零点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (2024高三上·朝阳模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 最小正周期；
2. （2）将函数 $\text{[math]}$ 的图象的横坐标缩小为原来的 $\text{[math]}$ ，再将得到的函数图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位，最后得到函数 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的对称中心；
3. （3）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恒成立，求实数m的取值范围．
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16. (2024高三上·朝阳模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）.
1. （1）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ .
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17. (2024高三上·朝阳模拟) 各项均不为0的数列 $\text{[math]}$ 对任意正整数 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 为等差数列，求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．
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18. (2024高三上·朝阳模拟) 在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为 $\text{[math]}$ ．假设每次信号的传输相互独立．
1. （1）当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值；
2. （2）当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为 $\text{[math]}$ ，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 中任意相邻的数字均不相同时，令 $\text{[math]}$ ），若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望．
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19. (2024高三上·朝阳模拟) 微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的图像连续不断，从几何上看，定积分 $\text{[math]}$ 便是由直线 $\text{[math]}$ 和曲线 $\text{[math]}$ 所围成的区域（称为曲边梯形 $\text{[math]}$ ）的面积，根据微积分基本定理可得 $\text{[math]}$ ，因为曲边梯形 $\text{[math]}$ 的面积小于梯形 $\text{[math]}$ 的面积，即 $\text{[math]}$ ，代入数据，进一步可以推导出不等式： $\text{[math]}$ ．
1. （1）请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．
  ①证明：对任意两个不相等的正数 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 处的切线均不重合；
  ②当 $\text{[math]}$ 时，若不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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