专题20 任意角和弧度制及三角函数的概念-2025年高考数学...

更新时间：2024-12-28 浏览次数：1 类型：一轮复习

一、单选题

1. 已知函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 单调递增，直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的图像的两条相邻对称轴，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， $\text{[math]}$ 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ．“会圆术”给出 $\text{[math]}$ 的弧长的近似值s的计算公式： $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

3. 已知函数 $\text{[math]}$ ，如图A，B是直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 的两个交点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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4. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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5. 若点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴对称点为 $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ 的一个取值为．

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6. 已知命题 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ 为第一象限角，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．能说明p为假命题的一组 $\text{[math]}$ 的值为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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三、单选题

7. 若角 $\text{[math]}$ 的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线 $\text{[math]}$ 上，则角 $\text{[math]}$ 的取值集合是( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则集合 $\text{[math]}$ 中的元素个数为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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四、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A . “ $\text{[math]}$ 为第一象限角”是“ $\text{[math]}$ 为第一象限角或第三象限角”的充分不必要条件 B . “ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的充要条件 C . 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的充分不必要条件 D . “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的必要不充分条件

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10. 下列说法正确的是（）

A . 轴截面为等腰直角三角形的圆锥，其侧面展开图的圆心角的弧度数为 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 已知 $\text{[math]}$ 为锐角， $\text{[math]}$ ，角 $\text{[math]}$ 的终边上有一点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 在 $\text{[math]}$ 范围内，与 $\text{[math]}$ 角终边相同的角是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$

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五、填空题

11. 已知角 $\text{[math]}$ 的终边关于直线 $\text{[math]}$ 对称，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的一组取值可以是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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12. 已知 $\text{[math]}$ 是第二象限角，且其终边经过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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六、单选题

13. 已知集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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14. 出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）的璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，黄身外耧空雕饰“ $\text{[math]}$ ”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）： $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则璜身（即曲边四边形 $\text{[math]}$ ）面积近似为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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七、多选题

15. 质点A ， B在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆上同时出发做逆时针匀速圆周运动，点A的起点在射线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）与圆O的交点处，点A的角速度为 $\text{[math]}$ ，点B的起点在圆O与x轴正半轴的交点处，点B的角速度为 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 在 $\text{[math]}$ 末时，点B的坐标为 $\text{[math]}$ B . 在 $\text{[math]}$ 末时，劣弧 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ C . 在 $\text{[math]}$ 末时，点A与点B重合 D . 当点A与点B重合时，点A的坐标可以为 $\text{[math]}$

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16. 通过研究宋代李诫所著的《营造法式》等古建资料，可以得到中国宋代建筑的屋顶蕴含着丰富的数学元素，体现了数学的对称美，并且符合两个特点：一、从檐口到屋脊的曲线为屋面曲线，左、右屋面曲线对称，可用圆弧拟合屋面曲线，且圆弧所对的圆心角为30°±2°；二、从檐口到屋脊的垂直距离为坡屋面高度半径，水平距离为半坡宽度，且 $\text{[math]}$ ．如图为某宋代建筑模型的结构图，其中A为屋脊，B ， C为檐口，且 $\text{[math]}$ 所对的圆心角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所在圆的半径为4， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所在两圆的圆心距为 $\text{[math]}$ ，则此建筑的屋顶不符合宋代建筑屋顶的特点 D . 若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所在两圆的圆心距为4，要想此建筑的屋顶符合宋代建筑屋顶的特点，可将圆心角θ缩小

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八、填空题

17. 已知函数 $\text{[math]}$ 的图像绕着原点按逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 弧度，若得到的图像仍是函数图象，则 $\text{[math]}$ 可取值的集合为.

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18. 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中放置着一个边长为1的等边三角形 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴平行，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上.现将三角形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 轴在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 内滚动，设顶点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程是 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小正周期为； $\text{[math]}$ 在其两个相邻零点间的图象与 $\text{[math]}$ 轴所围区域的面积为.

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九、单选题

19. 在直角坐标系中，绕原点将 $\text{[math]}$ 轴的正半轴逆时针旋转角 $\text{[math]}$ 交单位圆于 $\text{[math]}$ 点、顺时针旋转角 $\text{[math]}$ 交单位圆于 $\text{[math]}$ 点，若 $\text{[math]}$ 点的纵坐标为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 点的纵坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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20. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 为始边，终边在第三象限.则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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十、多选题

21. 已知角 $\text{[math]}$ 的顶点与原点重合，它的始边与 $\text{[math]}$ 轴的非负半轴重合，终边过点 $\text{[math]}$ ，定义： $\text{[math]}$ .对于函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称 B . 函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增 C . 将函数 $\text{[math]}$ 的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度后得到一个偶函数的图象 D . 方程 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上有两个不同的实数解

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22. (2024高三上·武汉月考) 下列命题正确的是（）

A . $\text{[math]}$ “ $\text{[math]}$ 是第二象限角或第三象限角”， $\text{[math]}$ “ $\text{[math]}$ ”，则 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的充分不必要条件 B . 若 $\text{[math]}$ 为第一象限角，则 $\text{[math]}$ C . 在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为锐角三角形 D . 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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十一、填空题

23. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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十二、单选题

24. 已知角α终边上有一点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为（）

A . 第一象限角 B . 第二象限角 C . 第三象限角 D . 第四象限角

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25. 已知角 $\text{[math]}$ 第二象限角，且 $\text{[math]}$ ，则角 $\text{[math]}$ 是（）

A . 第一象限角 B . 第二象限角 C . 第三象限角 D . 第四象限角

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26. 已知角 $\text{[math]}$ 的顶点与原点重合，始边与 $\text{[math]}$ 轴的非负半轴重合，终边经过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 0 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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27. (2024高二上·杭州期中) 已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为 $\text{[math]}$ 的扇形，则该圆锥的母线长为（）

A . $\text{[math]}$ B . 3 C . $\text{[math]}$ D . 4

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十三、多选题

28. 下列说法不正确的是（）

A . 存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ B . 函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ C . 函数 $\text{[math]}$ 的一个对称中心为 $\text{[math]}$ D . 若角 $\text{[math]}$ 的终边经过点 $\text{[math]}$ ，则角 $\text{[math]}$ 是第三象限角

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29. 下列命题为真命题的是（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 在定义域内是单调增函数 B . 函数 $\text{[math]}$ 的表达式可以改写为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 是最小正周期为 $\text{[math]}$ 的偶函数 D . 若一扇形弧长为 $\text{[math]}$ ，圆心角为 $\text{[math]}$ ，则该扇形的面积为 $\text{[math]}$

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30. 如图，质点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 在单位圆 $\text{[math]}$ 上逆时针作匀速圆周运动 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 同时出发， $\text{[math]}$ 的角速度为 $\text{[math]}$ ，起点位置坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的角速度为 $\text{[math]}$ ，起点位置坐标为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 在 $\text{[math]}$ 末，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ B . 在 $\text{[math]}$ 末，扇形 $\text{[math]}$ 的弧长为 $\text{[math]}$ C . 在 $\text{[math]}$ 末，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在单位圆上第二次重合 D . $\text{[math]}$ 面积的最大值为 $\text{[math]}$

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十四、填空题

31. 已知 $\text{[math]}$ 为锐角，满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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32. 在平面直角坐标系中，角 $\text{[math]}$ 的始边与 $\text{[math]}$ 轴非负半轴重合，终边经过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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33. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 以Ox为始边，且 $\text{[math]}$ ．把角α的终边绕端点O逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 弧度，这时终边对应的角是 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

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十五、解答题

34. 如图所示，角 $\text{[math]}$ 的终边与单位圆 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕原点 $\text{[math]}$ 按逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 后与圆 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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35. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知角 $\text{[math]}$ 的顶点与坐标原点重合，始边与 $\text{[math]}$ 轴的非负半轴重合，它的终边过点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若角 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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十六、单选题

36. 古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数 $\text{[math]}$ ，正割函数 $\text{[math]}$ ，余割函数 $\text{[math]}$ ，正矢函数 $\text{[math]}$ ，余矢函数 $\text{[math]}$ .如图角 $\text{[math]}$ 始边为 $\text{[math]}$ 轴的非负半轴，其终边与单位圆交点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是单位圆与 $\text{[math]}$ 轴和 $\text{[math]}$ 轴正半轴的交点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 垂直 $\text{[math]}$ 轴，作 $\text{[math]}$ 垂直 $\text{[math]}$ 轴，垂足分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线分别交 $\text{[math]}$ 的终边于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为有向线段，下列表示正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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十七、多选题

37. 一般地，任意给定一个角 $\text{[math]}$ ，它的终边 $\text{[math]}$ 与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y ，都是唯一确定的，所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角 $\text{[math]}$ 的函数.下面给出这些函数的定义：
①把点P的纵坐标y叫作 $\text{[math]}$ 的正弦函数，记作 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ；
②把点P的横坐标x叫作 $\text{[math]}$ 的余弦函数，记作 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ；
③把点P的纵坐标y的倒数叫作 $\text{[math]}$ 的余割，记作 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ；
④把点P的横坐标x的倒数叫作 $\text{[math]}$ 的正割，记作 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ .
下列结论正确的有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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十八、填空题

38. 如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段 $\text{[math]}$ 与分别以 $\text{[math]}$ 为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的动点，点O为线段 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在以 $\text{[math]}$ 为直径的半圆弧上，且 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 均为直角.若 $\text{[math]}$ 百米，则此步道的最大长度为百米.

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十九、解答题

39. 已知圆锥的顶点为 $\text{[math]}$ ，底面圆 $\text{[math]}$ 的直径 $\text{[math]}$ 的长度为4，母线长为 $\text{[math]}$ .
1. （1）如图1所示，若 $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 上异于点 $\text{[math]}$ 的任意一点，当三角形 $\text{[math]}$ 的面积达到最大时，求二面角 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2）如图2所示，若 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，一只蚂蚁从点 $\text{[math]}$ 出发，在圆锥的侧面沿着最短路径爬行一周到达 $\text{[math]}$ 点，在运动过程中，上坡的路程是下坡路程的3倍，求线段 $\text{[math]}$ 的长度.（上坡表示距离顶点 $\text{[math]}$ 越来越近）
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二十、单选题

40. 在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E在CD上，现将 $\text{[math]}$ 沿AE折起，使面 $\text{[math]}$ 面ABC ，当E从D运动到C ，求点D在面ABC上的射影K的轨迹长度为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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〇、多选题

41. 质点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 同时出发，在以原点 $\text{[math]}$ 为圆心，半径为 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 上逆时针作匀速圆周运动. $\text{[math]}$ 的角速度大小为 $\text{[math]}$ ，起点为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴正半轴的交点； $\text{[math]}$ 的角速度大小为 $\text{[math]}$ ，起点为射线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点.则当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合时， $\text{[math]}$ 的坐标可以为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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