2025届湖南省衡阳市衡阳县高三一模数学试题

更新时间：2024-11-22 浏览次数：56 类型：高考模拟

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. (2024高三上·衡阳模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高三上·衡阳模拟) 复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的实部为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024高三上·衡阳模拟) 已知古典概型的样本空间 $\text{[math]}$ ， “事件 $\text{[math]}$ ”，则命题“事件 $\text{[math]}$ ”是命题“事件 $\text{[math]}$ 与事件 $\text{[math]}$ 相互独立”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. (2024高三上·衡阳模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024高三上·衡阳模拟) $\text{[math]}$ 的展开式中 $\text{[math]}$ 的系数为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024高三上·衡阳模拟) 某城市随机选取 $\text{[math]}$ 个人参加活动，假设该城市人口年龄分布均匀，要使得参加该活动有人生肖相同的概率大于 $\text{[math]}$ ，则至少需要选取（）个人.

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高三上·衡阳模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ ，两焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过右焦点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 交右支于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高三上·衡阳模拟) 平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，若过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 作斜率不为0的直线 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 与正弦曲线 $\text{[math]}$ 的交点中，存在点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点，则称 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 的“平均割线”， $\text{[math]}$ 为“平衡点”，则对任何一个整数 $\text{[math]}$ ，下列描述正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 为偶数时，存在“平均割线” B . 若存在“平均割线” $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 唯一 C . 若存在“平均割线” $\text{[math]}$ ，则所有“平衡点”共线 D . 若存在“平均割线” $\text{[math]}$ ，则所有“平衡点” $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中间隔相等， $\text{[math]}$ 按从小到大顺序排列成等差数列

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9. (2024高三上·衡阳模拟) 已知一组样本数据： $\text{[math]}$ .其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将该组数据排列，下列关于该组数据结论正确的是（）

A . 序列不可能既是等比数列又是等差数列 B . 若成等比数列， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 有 $\text{[math]}$ 组可能取值 C . 若成等差数列， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 有 $\text{[math]}$ 组可能取值 D . 若该数据平均数是 $\text{[math]}$ ，则方差最小值为 $\text{[math]}$

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10. (2024高三上·衡阳模拟) 按指对数运算律定义两个函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 在定义域上单调递增 B . $\text{[math]}$ 在定义域上单调递减 C . $\text{[math]}$ D . 若存在 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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11. (2024高三上·衡阳模拟) $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，非常数函数 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是偶函数 C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的值不可能是 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. (2024高三上·衡阳模拟) 已知三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上中线 $\text{[math]}$ 的三等分点满足 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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13. (2024高三上·衡阳模拟) 函数 $\text{[math]}$ 的值域为．

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14. (2024高三上·衡阳模拟) 已知由系列圆构成的点集为 $\text{[math]}$ ，图形如图中的阴影部分所示，将平面剩余部分分为内外两部分（空白区域），给出以下命题：
①图形内部空白区域的面积最小值为 $\text{[math]}$
②图形到原点的最小距离为 $\text{[math]}$
③ $\text{[math]}$ 时，图形关于直线 $\text{[math]}$ 对称
④ $\text{[math]}$ 时，图形内外边界的长度和为 $\text{[math]}$
其中正确的有.

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. (2024高三上·衡阳模拟) 如图所示，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，侧面 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，且平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值大小.
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16. (2024高三上·衡阳模拟) 已知函数 $\text{[math]}$
1. （1）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 时，在 $\text{[math]}$ 上 $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
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17. (2024高三上·衡阳模拟) 如图，已知点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点，点 $\text{[math]}$ 是负半轴上的一点， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 面积的最大值；
2. （2）设直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，椭圆 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为定值，若存在，求出点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 值，若不存在，请说明理由.
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18. (2024高三上·衡阳模拟) 学校教学楼的每两层楼之间的上下楼梯有 $\text{[math]}$ 个台阶，从下至上记台阶所在位置为 $\text{[math]}$ ，同学甲在上楼的过程中，每一步等可能地跨 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 个台阶（位置 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ）.
1. （1）记甲迈 $\text{[math]}$ 步后所在的位置为 $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ 的分布列和期望值.
2. （2）求甲 $\text{[math]}$ 步内到过位置 $\text{[math]}$ 的概率；
3. （3）求 $\text{[math]}$ 步之内同时到过位置 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的有多少种走法，及发生的概率.
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19. (2024高三上·衡阳模拟) 某次生日会上，餐桌上有一个披萨饼，小华同学准备用刀切的方式分给在座的 $\text{[math]}$ 位小伙伴，由此思考一个数学问题：假设披萨近似可看成平面上的一个圆，第 $\text{[math]}$ 条切痕看作直线 $\text{[math]}$ ，设切 $\text{[math]}$ 下，最多能切出的块数为 $\text{[math]}$ ，如图易知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）试写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，作出对应简图，并指出要将披萨分给在座的 $\text{[math]}$ 位小伙伴（不考虑大小平分），最少要切几下；
2. （2）这是一个平面几何问题，利用“降维打击”思想，联想到一条线段被切 $\text{[math]}$ 下能划分成 $\text{[math]}$ 段，由此求出数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
3. （3）若将披萨换成一个蛋糕（近似看成空间中的一个圆柱体），同样用刀切方式分蛋糕，可以从上下底面和侧面各方向切入，每次切面都看作一个平面.若切 $\text{[math]}$ 下，最多能切出的块数为 $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ 的通项公式，并指出这时最多需要切几下能分给 $\text{[math]}$ 个人.（已知 $\text{[math]}$ ）
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