二次函数图象的旋转变换—浙教版数学九（上）知识点训练

更新时间：2024-11-26 浏览次数：1 类型：复习试卷

一、基础夯实

1. (2022九上·金华月考) 将函数 $\text{[math]}$ 的图像绕原点O旋转180°，得到新的二次函数解析式为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2022九上·慈溪月考) 将抛物线y=2x²-4x-5绕原点旋转180°，得到的新抛物线的解析式是（）

A . y=-2x²-4x+5 B . y=-2x²+4x+5 C . y=-2x²-4x-5 D . y=-2x²+4x-5

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3. (2023九上·期末) 在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转 $\text{[math]}$ 得到抛物线 $\text{[math]}$ ，则原抛物线的函数表达式为（）.

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2021九上·奉贤期末) 从图形运动的角度研究抛物线，有利于我们认识新的拋物线的特征. 如果将拋物线 $\text{[math]}$ 绕着原点旋转180°，那么关于旋转后所得新抛物线与原抛物线之间的关系，下列法正确的是（）

A . 它们的开口方向相同 B . 它们的对称轴相同 C . 它们的变化情况相同 D . 它们的顶点坐标相同

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5. (2022九上·铁锋期中) 将抛物线y=x²+1的图象绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是．

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6. (2021九上·西湖期中) 将抛物线y＝x²+4x+3绕原点旋转180°后，再分别向下、向右平移3个单位，此时该抛物线的解析式为.

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7. (2023九上·北京市月考) 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 可以看作是抛物线 $\text{[math]}$ 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线 $\text{[math]}$ 得到抛物线 $\text{[math]}$ 的过程：．

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8. (2017九上·湖州月考) 如图， $\text{[math]}$ 的图像交x轴于O点和A点，将此抛物线绕原点旋转180°得图像y₂ ， y₂与x轴交于O点和B点.
1. （1）若y₁=2x²-3x，则y₂= .
2. （2）设 y 1 的顶点为C，则当△ABC为直角三角形时，请你任写一个符合此条件的 y 1 的表达式 .
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9. (2018九上·天河期末) 已知抛物线y=x²+bx+c的顶点为D，且经过A(1，0)；B(0，2) 两点，将△OAB绕点A顺时针旋转90º后，点B落到点C的位置，将该抛物线沿着对称轴上下平移，使之经过点C，此时得到的新抛物线与y轴的交点为B₁ ，顶点为D.
1. （1）求新抛物线的解析式；
2. （2）若点N在新抛物线上，满足三角形NBB₁的面积是三角形NDD₁面积的2倍，求点N坐标.
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二、能力提升

10. (2024九上·金华开学考) 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，一段抛物线. $\text{[math]}$ 记为抛物线C₁ ，它与x轴交于点O，A₁；将抛物线C₁绕点A₁旋转180°得抛物线C₂ ，交x轴于点A₁ ， A₂；将抛物线C₂绕点A₂ ，旋转180°得抛物线C₃ ，交x轴于点A₂ ， A₃；……如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M(2023，m)在此“波浪线”上，则m的值为（）

A . -9 B . -5 C . 9 D . 5

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11. (2023九上·黄山期中) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 交x轴于O、A两点；将抛物线 $\text{[math]}$ 绕点A旋转180°得到抛物线 $\text{[math]}$ ，交x轴于A₁；将抛物线 $\text{[math]}$ 绕点A₁旋转180°得到抛物线 $\text{[math]}$ ，交x轴于A₂；…，如此进行下去，则抛物线 $\text{[math]}$ 的解析式是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. (2021九上·东海期末) 如图，一段抛物线： $\text{[math]}$ ，记为 $\text{[math]}$ ，它与x轴交于两点O， $\text{[math]}$ ；将 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，交x轴于 $\text{[math]}$ ；将 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，交x轴于 $\text{[math]}$ ，过抛物线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 顶点的直线与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 围成的如图中的阴影部分，那么该阴影部分的面积为.

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13. (2019九上·义乌月考) 在平面直角坐标系中，将函数 $\text{[math]}$ 的图象绕坐标原点O顺时针旋转45°后，得到新曲线l.
1. （1）如图①，已知点A(-1，a)，B(b，10)在函数 $\text{[math]}$ 的图象上，若 A＇， B＇是A，B旋转后的对应点，连结OA＇， OB＇，则S_{△OA＇B ＇}=；
2. （2）如图②，曲线l与直线 $\text{[math]}$ 相交于点M、N，则S_△OMN为.
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14. (2019九上·鱼台期末) 在平面直角坐标系xOy中(如图)．已知抛物线y=- $\text{[math]}$ x²+bx+c经过点A(-1，0)和点B(0， $\text{[math]}$ )，顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
1. （1）求这条抛物线的表达式；
2. （2）求线段CD的长；
3. （3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．
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三、拓展创新

15. (2022九上·宁波期中) 如图，“心”形是由抛物线 $\text{[math]}$ 和它绕着原点O，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中顶点C的对应点为D，点A，B是两条抛物线的两个交点，直线AB为“心”形对称轴，点E，F，G 是抛物线与坐标轴的交点，则AB=（）

A . $\text{[math]}$ B . 8 C . 10 D . $\text{[math]}$

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16. 定义：如果二次函数y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁ ， b₁ ， c₁是常数）与y=a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0，a₂ ， b₂ ， c₂是常数）满足a₁+a₂=0，b₁=b₂ ， c₁+c₂=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．写出y=﹣x²+3x﹣2函数的“旋转函数”．

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17. (2021九上·惠水期末) 阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：

定义：如果二次函数y＝a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁、b₁、c₁是常数）与y＝a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0，a₂、b₂、c₂是常数）满足a₁+a₂＝0，b₁＝b₂ ， c₁+c₂＝0，则这两个函数互为“旋转函数”.求函数y＝2x²﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x²﹣3x+1可知，a₁＝2，b₁＝﹣3，c₁＝1，根据a₁+a₂＝0，b₁＝b₂ ， c₁+c₂＝0，求出a₂ ， b₂ ， c₂就能确定这个函数的旋转函数.

请思考小明的方法解决下面问题：
1. （1）写出函数y＝x²﹣4x+3的旋转函数.
2. （2）若函数y＝5x²+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x²﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）²⁰²⁰的值.
3. （3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A₁、B₁、C₁ ，试求证：经过点A₁、B₁、C₁的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”.
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18. (2022九上·惠水期中) 九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是常数）与 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是常数）满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则这两个函数互为“旋转函数” $\text{[math]}$ 求函数 $\text{[math]}$ 的“旋转函数”.
小组同学是这样思考的，由函数 $\text{[math]}$ 可知， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，根据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 就能确定这个函数的“旋转函数”.
请参照小组同学的方法解决下面问题：
1. （1）函数 $\text{[math]}$ 的“旋转函数”是；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互为“旋转函数”，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）已知函数 $\text{[math]}$ 的图像与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 关于原点的对称点分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试求证：经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的二次函数与 $\text{[math]}$ 互为“旋转函数”.
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19. (20212九上·义乌期末) 如图1，直线 $\text{[math]}$ 与x，y轴分别相交于A、B两点.将 $\text{[math]}$ 绕点O逆时针旋转90°得到 $\text{[math]}$ ，过点A，B，D的抛物线P叫做直线l的关联抛物线，直线l叫做P的关联直线.
1. （1）若直线 $\text{[math]}$ ，则抛物线P表示的函数解析式为，若抛物线 $\text{[math]}$ ，则直线l表示的函数解析式为；
2. （2）如图2，若直线 $\text{[math]}$ ， G为AB中点，H为CD的中点，连接GH，取GH中点M，连接OM，已知 $\text{[math]}$ .求直线l的关联抛物线P表示的函数解析式；
3. （3）若将某直线的关联抛物线向右平移 $\text{[math]}$ 个单位得到抛物线 $\text{[math]}$ ，则a、m、n应满足的关系式为.
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