综合与实践—广东省（北师版）九（上）数学期末复习

课题：小空间检测视力问题

具体情境：对某班学生视力进行检测的任务.

现有条件： 一张测试距离为5米的视力表，一间长为3.8米，宽为3.6米的空书房.

主题：X型晒衣架稳固性检测

步骤：如图甲是晒衣架的实物图，图乙是晒衣架侧面示意图，经测量得到立杆 ， ， 现将晒衣架完全稳固张开，横扣链成一条线段，测得.

图甲                                                 图乙

证明与计算：

图①                                                                         图②

【问题背景】“夏至”过后，越来越多的市民喜欢去海边游玩，小明同学发现沙滩上有很多的遮阳伞为游客带来一丝清凉，如图1是沙滩上的圆形遮阳伞支架张开的状态，为了了解遮阳伞下方的遮阴面积，小明进行了如下操作调研．

         图1           图2       图3               图4

【测量与整理】通过操作发现，小明发现：如图2，当伞完全折叠时，伞顶与伞柄顶端点重合，两边主骨架的端点与重合；如图3，在撑开过程中，骨架的中点到点的距离始终等于的一半，；如图4，当伞完全张开时， ．

【计算与分析】

（只）．

某研究小组考察了一湖泊中的某鱼种群的年龄组成，结果如下表，请回答问题：

注：表中“”表示鱼的年龄年，表示年龄年，表示年龄年，表示年龄为年．

【综合与探究】问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证 ． 小慧的证明思路是：如图2，过点作 ， 交的延长线于点 ， 构造相似三角形来证明 ．

【学习研究】：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，构造方法如下：

首先将方程变形为 ， 然后画四个长为 ， 宽为的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为 ， 还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即 ， 因此，可得新方程： ， 表示边长， ， 即 ， 遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．

【类比迁移】：小明根据赵爽的办法解方程 ， 请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整：

第一步：将原方程变形为 ， 即（      ▲ ）=4；

第二步：利用四个面积可用表示为      ▲ 的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程；

第三步：

【拓展应用】：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么此方程的系数      ▲  ，       ▲  ， 求得方程的一个正根为      ▲  ．

【问题情境】

在正方形纸片ABCD中 ，AB=6，点P是边AD 上的一个动点，过点P作PQ∥AB 交 BC于点Q，将正方形纸片ABCD折叠，使点C的对应点C落在线段PQ上，点B的对应点为B'，折痕所在的直线交边AB于点E、交边 CD于点F，EF与PQ交于点N.

【猜想证明】

在矩形中，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系，点是射线上一动点，连接 ， 过点作于点 ， 交直线于点. 

图①                                        图②                                                           图③

问题探究：

例如，如图1， ， 线段AB的长度称为点，与直线之间的距离，当时，线段AB的长度也是与之间的距离.

【应用】