备考2018年高考数学一轮基础复习：专题13 立体几何与空间...

更新时间：2017-12-22 浏览次数：454 类型：一轮复习

一、单选题

1. (2017高一下·张家口期末) 四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是正方形，各侧棱长与底面的边长均相等，M为SA的中点，则直线BM与SC所成的角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2017高一上·湖南期末) 如图，在正四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AA₁=2，点P是平面A₁B₁C₁D₁内的一个动点，则三棱锥P﹣ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值为（）

A . 1 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2017·房山模拟) 一个三棱锥的顶点在空间直角坐标系中的坐标O﹣xyz分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），画出该三棱锥三视图中的俯视图时，以xOy平面为投影面，得到的俯视图为（）

A . B . C . D .

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4. (2017·榆林模拟) 将一张边长为12cm的正方形纸片按如图（1）所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图（2）所示放置．如果正四棱锥的主视图是等边三角形，如图（3）所示，则正四棱锥的体积是（）

A . $\text{[math]}$ cm³ B . $\text{[math]}$ cm³ C . $\text{[math]}$ cm³ D . $\text{[math]}$ cm³

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5. (2017·镇海模拟) 在直三棱柱A₁B₁C₁﹣ABC中， $\text{[math]}$ ，AB=AC=AA₁=1，已知G和E分别为A₁B₁和CC₁的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为（）

A . [ $\text{[math]}$ ，1） B . [ $\text{[math]}$ ，1] C . （ $\text{[math]}$ ，1） D . [ $\text{[math]}$ ，1）

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6. (2017·大连模拟) 已知三棱锥P﹣ABC的各顶点都在同一球的面上，且PA⊥平面ABC，若球O的体积为 $\text{[math]}$ （球的体积公式为 $\text{[math]}$ R³ ，其中R为球的半径），AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则三棱锥P﹣ABC的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2017高一下·保定期中) 在空间中，a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A . 若a∥α，b∥a，则b∥α B . 若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥α C . 若α∥β，b∥α，则b∥β D . 若α∥β，a⊂α，则a∥β

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8. 下列命题中错误的是（）

A . 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B . 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β C . 如果直线a∥平面α，那么a平行于平面α内的无数条直线 D . 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

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9. 已知立方体ABCD﹣A'B'C'D'，E，F，G，H分别是棱AD，BB'，B'C'，DD'中点，从中任取两点确定的直线中，与平面AB'D'平行的有（）条．

A . 0 B . 2 C . 4 D . 6

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10. (2017·仁寿模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A . $\text{[math]}$ +8π B . $\text{[math]}$ +8π C . $\text{[math]}$ +16π D . $\text{[math]}$ +16π

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11. (2016高二上·屯溪期中) 四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，顶点S在底面的射影是底面正方形的中心O，SO=2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$

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12. (2017高一下·河北期末) 如图，三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AA₁=2，AB=BC=1，∠ABC=90°，外接球的球心为O，点E是侧棱BB₁上的一个动点．有下列判断：
①直线AC与直线C₁E是异面直线；②A₁E一定不垂直于AC₁；③三棱锥E﹣AA₁O的体积为定值；④AE+EC₁的最小值为2 $\text{[math]}$ ．
其中正确的个数是（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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二、填空题

13. (2017高二上·景县月考) 如图，在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为6的等边三角形，若AB=4，则四面体ABCD外接球的表面积为．

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14. (2017高二下·杭州期末) 在△ABC中，∠ABC= $\text{[math]}$ ，边BC在平面α内，顶点A在平面α外，直线AB与平面α所成角为θ．若平面ABC与平面α所成的二面角为 $\text{[math]}$ ，则sinθ=．

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15. (2017·宁德模拟) 已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是．

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16. (2017高三上·苏州开学考) 如图，在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=3cm，AA₁=2cm，则三棱锥A﹣B₁D₁D的体积为cm³ ．

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三、综合题

17. (2017·武汉模拟) 如图，在四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，侧面ADD₁A₁⊥底面ABCD，D₁A=D₁D= $\text{[math]}$ ，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．
（Ⅰ）求证：A₁O∥平面AB₁C；
（Ⅱ）求锐二面角A﹣C₁D₁﹣C的余弦值．

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18. (2017高二下·南昌期末) 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD边的中点，
1. （1）求证：BG⊥平面PAD；
2. （2）求证：AD⊥PB；
3. （3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．
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19. (2017·石嘴山模拟) 如图，在四棱锥ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB=2，BC=CD=1，顶角D₁在底面ABCD内的射影恰好为点C．
1. （1）求证：AD₁⊥BC；
2. （2）若直线DD₁与直线AB所成角为 $\text{[math]}$ ，求平面ABC₁D₁与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值函数值．
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20. (2017·长沙模拟) 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面相互垂直，AB= $\text{[math]}$ ，AF=1，G为线段AD上的任意一点．
1. （1）若M是线段EF的中点，证明：平面AMG⊥平面BDF；
2. （2）若N为线段EF上任意一点，设直线AN与平面ABF，平面BDF所成角分别是α，β，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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21. (2016高二上·包头期中) 如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC．设D，E分别为PA，AC中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；
（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAB；
（Ⅲ）试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点 D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．

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22. (2016高二上·吉林期中)
如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直．已知AB=2，EF=1．
（Ⅰ）求证：平面DAF⊥平面CBF；
（Ⅱ）求直线AB与平面CBF所成角的大小；
（Ⅲ）当AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°？

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