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难点十解析几何中的定值、定点和定线问题

更新时间：2018-03-06 浏览次数：360 类型：二轮复习

一、单选题

1. (2017·大理模拟) 已知双曲线y²﹣ $\text{[math]}$ =1与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于M，N两点，线段MN的中点为P，设直线l的斜率为k₁ ，直线OP的斜率为k₂ ，则k₁k₂=（）

A . $\text{[math]}$ B . ﹣ $\text{[math]}$ C . 2 D . ﹣2

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2. (2017·黄石模拟)
如图，A₁ ， A₂为椭圆 $\text{[math]}$ 长轴的左、右端点，O为坐标原点，S，Q，T为椭圆上不同于A₁ ， A₂的三点，直线QA₁ ， QA₂ ， OS，OT围成一个平行四边形OPQR，则|OS|²+|OT|²=（）

A . 14 B . 12 C . 9 D . 7

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3. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 和双曲线 $\text{[math]}$ 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2017·黄冈模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左，右焦点分别为F₁ ， F₂ ，双曲线的离心率为e，若双曲线上一点P使 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 3 B . 2 C . ﹣3 D . ﹣2

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5. (2016高二上·青岛期中) 若m，n满足m+2n﹣1=0，则直线mx+3y+n=0过定点（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2016高二下·黑龙江开学考) 已知点P是双曲线 $\text{[math]}$ ﹣y²=1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则 $\text{[math]}$ （）

A . ﹣ $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . ﹣ $\text{[math]}$ D . ﹣ $\text{[math]}$

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二、填空题

7. 已知直线y= $\text{[math]}$ x与双曲线 $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ =1交于A、B两点，P为双曲线上不同于A、B的点，当直线PA、PB的斜率k_PA ， k_PB存在时，k_PA•k_PB=．

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三、解答题

8. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\text{[math]}$ ，焦距为2 $\text{[math]}$ ，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若AB垂直于x轴，求直线MB的斜率。

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9. (2017·安庆模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，左右焦点分别为F₁ ， F₂ ，以椭圆短轴为直径的圆与直线 $\text{[math]}$ 相切．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过点F₁、斜率为k₁的直线l₁与椭圆E交于A，B两点，过点F₂、斜率为k₂的直线l₂与椭圆E交于C，D两点，且直线l₁ ， l₂相交于点P，若直线OA，OB，OC，OD的斜率k_OA ， k_OB ， k_OC ， k_OD满足k_OA+k_OB=k_OC+k_OD ，求证：动点P在定椭圆上，并求出此椭圆方程．

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10. (2017·自贡模拟) 已知椭圆E： $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的离心率是 $\text{[math]}$ ，过E的右焦点且垂直于椭圆长轴的直线与椭圆交于A，B两点，|AB|=2．

（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过点P（0， $\text{[math]}$ ）的动直线l与椭圆E交于的两点M，N（不是的椭圆顶点），是否存在实数λ，使 $\text{[math]}$ +λ $\text{[math]}$ 为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

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11. 已知 $\text{[math]}$ 分别是椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点，离心率为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是椭圆的上、下顶点， $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
（Ⅱ）过 $\text{[math]}$ （0,2）作直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，求三角形 $\text{[math]}$ 面积的最大值（ $\text{[math]}$ 是坐标原点）．

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12.
已知直线l经过抛物线x²=4y的焦点，且与抛物线交于A，B两点，点O为坐标原点．
（1）求抛物线准线方程；
（2）若△AOB的面积为4，求直线l的方程．

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13. 已知椭圆C₁： $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的离心率为e= $\text{[math]}$ ，且过点（1， $\text{[math]}$ ）．抛物线C₂：x²=﹣2py（p＞0）的焦点坐标为（0，﹣ $\text{[math]}$ ）．
（Ⅰ）求椭圆C₁和抛物线C₂的方程；
（Ⅱ）若点M是直线l：2x﹣4y+3=0上的动点，过点M作抛物线C₂的两条切线，切点分别为A，B，直线AB交椭圆C₁于P，Q两点．
（i）求证直线AB过定点，并求出该定点坐标；
（ii）当△OPQ的面积取最大值时，求直线AB的方程．

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14. (2017·顺义模拟) 已知椭圆E： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）经过点（﹣1， $\text{[math]}$ ），其离心率e= $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆C相切，切点为T，且l与直线x=﹣4相交于点S．
试问：在x轴上是否存在一定点，使得以ST为直径的圆恒过该定点？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．

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四、综合题

15. 如图所示，已知圆A的圆心在直线y=﹣2x上，且该圆存在两点关于直线x+y﹣1=0对称，又圆A与直线l₁：x+2y+7=0相切，过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l₁相交于点P．
1. （1）求圆A的方程；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求直线l的方程；
3. （3）（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ 是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．
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