难点十一解析几何中的范围、最值和探索性问题

更新时间：2018-03-08 浏览次数：380 类型：二轮复习

一、单选题

1. (2017高二上·安阳开学考) F₁、F₂为椭圆的两个焦点，以F₂为圆心作圆F₂ ，已知圆F₂经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，若直线MF₁恰与圆F₂相切，则该椭圆的离心率e为（　）

A . $\text{[math]}$ ﹣1 B . 2﹣ $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 过椭圆 $\text{[math]}$ （a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜ $\text{[math]}$ ，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）

A . （0， $\text{[math]}$ ） B . （ $\text{[math]}$ ， 1） C . （0， $\text{[math]}$ ） D . （ $\text{[math]}$ ， 1）

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3. 直线y=k（x﹣1）与A（3，2）、B（0，1）为端点的线段有公共点，则k的取值范围是（）

A . [﹣1，1] B . [﹣1，3] C . （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D . （﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）

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4. 已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是双曲线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的左、右焦点，过点 $\text{[math]}$ 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M在以线段 $\text{[math]}$ 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 。若 $\text{[math]}$ 的最小值为1，则椭圆的离心率为( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2017高二下·衡水期末) 已知双曲线 $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂ ，过点F₁且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A、B两点，AF₂、BF₂分别交y轴于P、Q两点，若△PQF₂的周长为12，则ab取得最大值时该双曲线的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2017·温州模拟) 设P为椭圆C： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）上的动点，F₁、F₂为椭圆C的焦点，I为△PF₁F₂的内心，则直线IF₁和直线IF₂的斜率之积（）

A . 是定值 B . 非定值，但存在最大值 C . 非定值，但存在最小值 D . 非定值，且不存在最值

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8. (2017高二上·驻马店期末) 已知点P为椭圆 $\text{[math]}$ =1上的动点，EF为圆N：x²+（y﹣1）²=1的任一直径，求 $\text{[math]}$ 最大值和最小值是（）

A . 16，12﹣4 $\text{[math]}$ B . 17，13﹣4 $\text{[math]}$ C . 19，12﹣4 $\text{[math]}$ D . 20，13﹣4 $\text{[math]}$

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9. (2017高二上·晋中期末) 已知点F为抛物线y ²=﹣8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（　　）

A . 6 B . 2+4 $\text{[math]}$ C . 2 $\text{[math]}$ D . 4+2 $\text{[math]}$

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10. (2017高三上·山东开学考) 抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为L，A、B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB= $\text{[math]}$ ．设线段AB的中点M在L上的投影为N，则 $\text{[math]}$ 的最大值是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知椭圆 $\text{[math]}$ （a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且 $\text{[math]}$ ，则该椭圆离心率e的取值范围为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. (2017·安徽模拟) 已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F₁F₂ ，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形．若|PF₁|=10，记椭圆与双曲线的离心率分别为e₁ ， e₂ ，则e₁•e₂的取值范围是（）

A . （ $\text{[math]}$ ，+∞） B . （ $\text{[math]}$ ，+∞） C . （ $\text{[math]}$ ，+∞） D . （0，+∞）

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二、填空题

13. (2016高二上·中江期中) 已知AC，BD为圆O：x²+y²=9的两条相互垂直的弦，垂足为M（1， $\text{[math]}$ ），则四边形ABCD的面积的最大值为．

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14. 设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是

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15. (2016高一下·烟台期中) 在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x+2与x轴、y轴分别交于M、N两点，点P在圆（x﹣a）²+y²=2（a＞0）上运动，若∠MPN恒为锐角，则实数a的取值范围是．

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16. (2016高二上·重庆期中) 如图所示，过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F作直线交C于A、B两点，过A、B分别向C的准线l作垂线，垂足为A′，B′，已知四边形AA′B′F与BB′A′F的面积分别为15和7，则△A′B′F的面积为．

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三、解答题

17. (2017·包头模拟) 平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左焦点为F，离心率为 $\text{[math]}$ ，过点F且垂直于长轴的弦长为 $\text{[math]}$ ．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设点A，B分别是椭圆的左、右顶点，若过点P（﹣2，0）的直线与椭圆相交于不同两点M，N．
（i）求证：∠AFM=∠BFN；
（ii）求△MNF面积的最大值．

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18. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（m＞0）．

（Ⅰ）若m=2，求椭圆C的离心率及短轴长；
（Ⅱ）若存在过点P（﹣1，0），且与椭圆C交于A、B两点的直线l，使得以线段AB为直径的圆恰好通过坐标原点，求m的取值范围．

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19. (2017·黑龙江模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点为F，过椭圆C中心的弦PQ长为2，且∠PFQ=90°，△PQF的面积为1．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A₁、A₂分别为椭圆C的左、右顶点，S为直线 $\text{[math]}$ 上一动点，直线A₁S交椭圆C于点M，直线A₂S交椭圆于点N，设S₁、S₂分别为△A₁SA₂、△MSN的面积，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

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20. (2017高二上·成都期中) 已知抛物线C：y²=2px（p＞0），上的点M（1，m）到其焦点F的距离为2，
（Ⅰ）求C的方程；并求其准线方程；
（II）已知A （1，﹣2），是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于 $\text{[math]}$ ？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．

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