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难点十二 推理与新定义问题

更新时间:2018-03-08 浏览次数:316 类型:二轮复习
一、单选题
  • 1. (2017高三上·孝感期末) 欧拉公式eix=cosx+isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占用非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,e2i表示的复数在复平面中位于(  )
    A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限
  • 2. (2015高一下·万全期中) 若数列{an}满足 =0,n∈N* , p为非零常数,则称数列{an}为“梦想数列”.已知正项数列 为“梦想数列”,且b1b2b3…b99=299 , 则b8+b92的最小值是(   )
    A . 2 B . 4 C . 6 D . 8
  • 3. 三角形的面积为a,b,c为三角形的边长,r为三角形内切圆的半径,利用类比推理,可得出四面体的体积为( )

    A . B . C . , (h为四面体的高) D . (S1 , S2 , S3 , S4分别为四面体的四个面的面积,r为四面体内切球的半径)
  • 4. 对于集合A,如果定义了一种运算“⊕”,使得集合A中的元素间满足下列4个条件:

    (Ⅰ)∀a,b∈A,都有a⊕b∈A

    (Ⅱ)∃e∈A,使得对∀a∈A,都有e⊕a=a⊕e=a;

    (Ⅲ)∀a∈A,∃a′∈A,使得a⊕a′=a′⊕a=e;

    (Ⅳ)∀a,b,c∈A,都有(a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c),

    则称集合A对于运算“⊕”构成“对称集”.下面给出三个集合及相应的运算“⊕”:

    ①A={整数},运算“⊕”为普通加法;

    ②A={复数},运算“⊕”为普通减法;

    ③A={正实数},运算“⊕”为普通乘法.

    其中可以构成“对称集”的有(  )

    A . ①② B . ①③ C . ②③ D . ①②③
  • 5. 记录k(k≤n)个点的颜色,称为该圆的一个“k阶段序”,当且仅当两个k阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时,称为不同的k阶色序.若某圆的任意两个“k阶段序”均不相同,则称该圆为“k阶魅力圆”.“3阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为(   )
    A . 4 B . 6 C . 8 D . 10
  • 6. (2017高二上·河北期末) 中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放形式有纵横两种形式(如图所示),表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位用横式表示,以此类推.例如6613用算筹表示就是 ,则9117用算筹可表示为(   )

    A . B . C . D .
  • 7. 若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件:

    ①P、Q都在函数y=f(x)的图象上;

    ②P、Q关于原点对称,则称点对[P,Q]是函数y=f(x)的一对“友好点对”(点对[P,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对”),

    已知函数f(x)= , 则此函数的“友好点对”有(  ) 

    A . 0对 B . 1对 C . 2对 D . 3对
  • 8. 定义区间[x1 , x2]长度为x2﹣x1 , (x2>x1),已知函数f(x)= (a∈R,a≠0)的定义域与值域都是[m,n],则区间[m,n]取最大长度时a的值为(  )

    A . B . a>1或a<﹣3   C . a>1 D . 3
  • 9. (2017高二下·南昌期末) 设函数f(x)的定义域为D,若f(x)满足条件:存在[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域是[ ],则成f(x)为“倍缩函数”,若函数f(x)=log2(2x+t)为“倍缩函数”,则t的范围是(   )
    A . (0, B . (0,1) C . (0, ] D . ,+∞)
  • 10. (2017·广安模拟) 已知函数y=f(x)与y=F(x)的图象关于y轴对称,当函数y=f(x)和y=F(x)在区间[a,b]同时递增或同时递减时,把区间[a,b]叫做函数y=f(x)的“不动区间”.若区间[1,2]为函数f(x)=|2x﹣t|的“不动区间”,则实数t的取值范围是(   )
    A . (0,2] B . [ ,+∞) C . [ ,2] D . [ ,2]∪[4,+∞)
  • 11. 设函数f(x),g(x)的定义域分别为F、G,且F⊆G.若对任意的x∈F,都有g(x)=f(x),则称g(x)为f(x)在G上的一个“延拓函数”.已知函数f(x)=2x(x≤0),若g(x)为f(x)在R上一个延拓函数,且g(x)是偶函数,则函数g(x)的解析式是(   )
    A . g(x)=2|x| B . g(x)=log2|x| C . D .
  • 12. 符合以下性质的函数称为“S函数”:①定义域为R,②f(x)是奇函数,③f(x)<a(常数a>0),④f(x)在(0,+∞)上单调递增,⑤对任意一个小于a的正数d,至少存在一个自变量x0 , 使f(x0)>d.下列四个函数中中“S函数”的个数为(  )

    A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个
二、填空题
  • 13. 设S为复数集C的非空子集.如果

    (1)S含有一个不等于0的数;

    (2)∀a,b∈S,a+b,a﹣b,ab∈S;

    (3)∀a,b∈S,且b≠0,∈S,那么就称S是一个数域.

    现有如下命题:

    ①如果S是一个数域,则0,1∈S;

    ②如果S是一个数域,那么S含有无限多个数;

    ③复数集是数域;

    ④S={a+b|a,b∈Q,}是数域;

    ⑤S={a+bi|a,b∈Z}是数域.

    其中是真命题的有 (写出所有真命题的序号).

  • 14. (2016高三上·沈阳期中) 设函数f(x)= (x>0),观察:

    f1(x)=f(x)=

    f2(x)=f(f1(x))=

    f3(x)=f(f2(x))=

    f4(x)=f(f3(x))=

    根据以上事实,当n∈N*时,由归纳推理可得:fn(1)=

  • 15. (2015高一下·城中开学考) 设函数f(x)的定义域为D,若存在非零实数m,使得对于任意x∈M(M⊆D),有(x﹣m)∈D且f(x﹣m)≤f(x),则称f(x)为M上的m度低调函数.如果定义域为R的函数f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=|x﹣a2|﹣a2 , 且f(x)为R上的5度低调函数,那么实数a的取值范围为
  • 16. (2017高一下·沈阳期末) 在直角坐标系 中,已知任意角 以坐标原点 为顶点,以 轴的非负半轴为始边,若其终边经过点 ,且 ,定义: ,称“ ”为“ 的正余弦函数”,若 ,则
  • 17. (2016高二上·九江期中) 若数列{an}满足a2﹣a1>a3﹣a2>a4﹣a3>…>an+1﹣an>…,则称数列{an}为“差递减”数列,若数列{an}是“差递减”数列,且其通项an与其前n项和Sn(n∈N*)满足2Sn=3an+2λ﹣1(n∈N*),则实数λ的取值范围是
三、解答题
  • 18. 已知首项为 的等比数列{an}的前n项和为Sn , n∈N* , 且﹣2S2 , S3 , 4S4成等差数列.

    (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

    (Ⅱ)对于数列 ,若存在一个区间M,均有Ai∈M,(i=1,2,3…),则称M为数列 的“容值区间”,设 ,试求数列{bn}的“容值区间”长度的最小值.

四、综合题
  • 19. 记max{m,n}表示m,n中的最大值,如max .已知函数f(x)=max{x2﹣1,2lnx},g(x)=max{x+lnx,ax2+x}.
    1. (1) 求函数f(x)在 上的值域;
    2. (2) 试探讨是否存在实数a,使得g(x)< x+4a对x∈(1,+∞)恒成立?若存在,求a的取值范围;若不存在,说明理由.
  • 20. (2017·南京模拟) 若存在常数k(k∈N* , k≥2)、q、d,使得无穷数列{an}满足 则称数列{an}为“段比差数列”,其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差.设数列{bn}为“段比差数列”.
    1. (1) 若{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3.

      ①当q=0时,求b2016

      ②当q=1时,设{bn}的前3n项和为S3n , 若不等式 对n∈N*恒成立,求实数λ的取值范围;

    2. (2) 设{bn}为等比数列,且首项为b,试写出所有满足条件的{bn},并说明理由.

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