1. (2019九上·海陵期末) 如图，已知矩形ABCD中，BC=2cm，AB=2 cm，点E在边AB上，点F在边AD上，点E由A向B运动，连结EC、EF，在运动的过程中，始终保持EC⊥EF，△EFG为等边三角形.

1. （1） 求证△AEF∽△BCE；
3. （2） 设BE的长为xcm，AF的长为ycm，求y与x的函数关系式，并写出线段AF长的范围；
5. （3） 若点H是EG的中点，试说明A、E、H、F四点在同一个圆上，并求在点E由A到B运动过程中，点H移动的距离.