1. (2020·梧州模拟) 已知抛物线C：x²＝2py（p＞0）的焦点为（0，1）

1. （1） 求抛物线C的方程；
3. （2） 设直线l₂：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点P ， 且与直线l₁：y＝﹣1相交于点Q ， 试问，在坐标平面内是否存在点N ， 使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．