如图，在中，、两点的坐标分别为、，抛物线经过、、三点，点是抛物线的顶点．

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1. (2020·北京模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点的坐标分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点，点 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点．
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的函数解析式及顶点 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （2）将抛物线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 同时先向右平移4个单位长度，再向下平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，得到抛物线 $\text{[math]}$ 和□ $\text{[math]}$ ，在向下平移过程中， $\text{[math]}$ 与轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分的面积记为 $\text{[math]}$ ，试探究：当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 有最大值，并求出 $\text{[math]}$ 的最大值；
5. （3）在（2）的条件下，当 $\text{[math]}$ 取最大值时，设此时抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 是轴上的动点，点 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 上的动点，是否存在这样的点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，使以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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