如图，在边长为2的正方形中，为的中点，为边上一动点，设，线段的垂直平分线分别交边、于点、，过作于点，过作于点．

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1. (2019·金乡模拟) 如图，在边长为2的正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上一动点，设 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线分别交边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）顺次连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，设四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ 与自变量 $\text{[math]}$ 之间的函数关系式，并求 $\text{[math]}$ 的最小值．

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