1. (2016高二下·鹤壁期末) 已知向量 =（e^x ， lnx+k）， =（1，f（x））， ∥ （k为常数，e是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，F（x）=xe^xf′（x）．

1. （1） 求k的值及F（x）的单调区间；
3. （2） 已知函数g（x）=﹣x²+2ax（a为正实数），若对任意x₂∈[0，1]，总存在x₁∈（0，+∞），使得g（x₂）＜F（x₁），求实数a的取值范围．