1. (2015高二上·东莞期末) 已知椭圆E： 过点 ，离心率为 ，点F₁ ， F₂分别为其左、右焦点．

1. （1） 求椭圆E的标准方程；
3. （2） 是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点P，Q，且 ？若存在，求出该圆的方程，并求|PQ|的最大值；若不存在，请说明理由．