1. (2017·长安模拟)

探究题

如图1，等边△ABC中，BC=4，点P从点B出发，沿BC方向运动到点C，点P关于直线AB、AC的对称点分别为点M、N，连接MN．

1. （1） 【发现】

   当点P与点B重合时，线段MN的长是．

   当AP的长最小时，线段MN的长是；

3. （2） 【探究】
   

   
   

   如图2，设PB=x，MN²=y，连接PM、PN，分别交AB，AC于点D，E．
   

   用含x的代数式表示PM=，PN=；

5. （3） 求y关于x的函数关系式，并写出y的取值范围；

7. （4） 当点P在直线BC上的什么位置时，线段MN=3 （直接写出答案）

9. （5）

   【拓展】

   如图3，求线段MN的中点K经过的路线长．

   

11. （6）

    【应用】

    如图4，在等腰△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，BC=2，点P、Q、R分别为边BC、AB、AC上（均不与端点重合）的动点，则△PQR周长的最小值是．

    （可能用到的数值：sin75°= ，cos75°= ，tan75°=2+ ）